本文主要研究了有限域上的一些算术问题，这些问题均具有密码学上的应用背景。全文共分四章。在第一章中，我们对有限域上代数簇有理点个数的某些类型的估计进行了改进或推广。这些估计包括著名的Chevalley-Warning定理和Ax-Katz定理，以及万大庆定理。例如，通过引入“Φ—变换”的概念，将关于简单对角多项式零点个数的压缩公式推广到广义对角多项式以及更为一般的情形上去；利用Adolphson和Sperber的牛顿多面体理论与指数和工具，将万大庆定理进行了两个不同方向的推广，等等。在第二章中，我们研究了有限域上三类特殊超曲面方程(对角方程、S—方程和阶梯方程)的解数公式。通过引入“GCD-连通集”这一概念，得到以下一些结果：(a)给出了华罗庚、Vandiver和Weil关于对角方程解数的特征和表达式及其相关函数的分解公式，(b)对孙琦和万大庆的两个定理给出了一个统一的简单证明，(c)部分地回答了万大庆提出的一个问题并提出了一个猜想。引入了S—方程的概念，证明了本原S—方程在方程解数的研究中具有类似不可约多项式在多项式分解中的重要作用，并且由此发现了一系列新的解数公式。对王文松和孙琦关于阶梯方程的定理给出了一个简洁的证明。在第三章中，我们讨论了有限域上的基。通过引入“k—th乘法表”的概念，给出了关于对偶基的一种新的刻画；作为应用，推广了廖群英和孙琦的有关结果，并简化了廖群英和孙琦，以及Wang和Blake的相关定理的证明。通过利用Akbik和Ruskey等的两个计数定理，对Perlis和Pei等的关于不可约多项式与N—多项式的两个定理给出了一个统一的简洁证明。最后还提出了一个纯属组合数论的问题。在第四章中，我们介绍了如何利用有限域上的圆锥曲线和椭圆曲线的有理点成群这一性质进行整数分解和设计RSA型公钥密码系统，并比较了它们各自的优劣，从中总结出利用有限域上的群进行整数分解和设计RSA型公钥密码系统的一般规则。特别地，我们指出环Z_n上RSA型公钥密码系统通过选择适当的参数可以抵抗包括传统的Wiener攻击在内的小解密指数攻击，从而推广了孙琦等人的相关结论。关于以上问题密码学上的应用背景，将在“前言”中进行详细介绍。