【摘 要】
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非线性四阶椭圆型(双调和)方程起源于弹性薄板理论,被广泛应用于物理、机械工程、生物学及微分几何等领域.本文研究单位圆上非线性双调和方程边值问题多解的数值方法,分两部分:第一部分考虑单位圆域上四阶椭圆型方程Navier边值问题的多个解,方程如下:(?)其中,Ω是单位圆形区域,x是二维向量,q>1,λ∈R和l≥0是给定的参数.首先利用分歧理论和有限差分法计算出单位圆上方程(0.1)的非零解,然后
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非线性四阶椭圆型(双调和)方程起源于弹性薄板理论,被广泛应用于物理、机械工程、生物学及微分几何等领域.本文研究单位圆上非线性双调和方程边值问题多解的数值方法,分两部分:第一部分考虑单位圆域上四阶椭圆型方程Navier边值问题的多个解,方程如下:(?)其中,Ω是单位圆形区域,x是二维向量,q>1,λ∈R和l≥0是给定的参数.首先利用分歧理论和有限差分法计算出单位圆上方程(0.1)的非零解,然后以该问题的非零解作为起点,运用延拓法,延拓方程(0.1)中的分歧参数l,获得方程(0.1)的正解枝,并在延拓过程中寻找原问题潜在的对称破缺分歧点,通过构建扩张系统,精确计算出该分歧点的位置,并利用基于Liapunov-Schmidt约化的解枝转接法,数值计算出单位圆上方程(0.1)多个具有不同对称性质的正解,同时获得原问题的对称破缺分歧图.第二部分考虑单位圆域上四阶椭圆型方程Dirichlet边值问题的多个解,其方程如下:(?)这里,Ω是单位圆形区域,x是二维向量,取参数λ ∈ R,q>1和l≥ 0.首先利用Liapunov-Schmidt约化,分歧理论和有限差分法计算出该区域Ω上方程(0.2)的非零解,然后以非线性问题的非零解作为起点,运用延拓法,延拓方程(0.2)中的分歧参数l,获得方程(0.2)的正解枝,并在延拓过程中寻找原问题潜在的对称破缺分歧点,通过构建扩张系统,精确计算出该分歧点的位置,并利用基于Liapunov-Schmidt约化的解枝转接法,计算出单位圆上方程(0.2)多个具有不同对称性质的正解,同时获得原问题的对称破缺分歧图.数值结果显示本文算法在实际计算中的有效性.最后,全文进行了总结和展望.
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