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偏微分方程对现代数学的发展发挥着很重要的作用,而作为偏微分方程的一个主要的和重要的分支,椭圆型方程被许多作者研究过.对椭圆型方程解的存在或者不存在,唯一或者多重,正则性等一向是研究者的主题,特别是对含有临界指数和临界位势的Dirichlet边界值问题,本文从不同的角度(如含临界指数,临界位势,次临界指数和临界位势,临界指数和次临界位势等)讨论了椭圆型方程解的存在和不存在性以及多重解的存在性。
在第二章中,通过一个改进的Sobolev-Hardy不等式,讨论了一类含Sobolev-Hardy指数的椭圆型方程多解的存在性.首先利用上下解的方法证明了极小正解的存在性,其次,利用无PS条件的山路引理在极小解附近找到一列逼近解,通过分析得到这个逼近解的极限是问题的另外一个正解。
在第三章,我们研究了含临界Sobolev指数的双调和问题在变分框架下不能进行的条件。通过Ekeland变分原理和山路引理,在N≥5和f(x)合理假设下,获得了一些解的存在和不存在的结果,与此同时,我们考虑了含Hardy位势和临界指数的双调和问题,并证明了非平凡解的存在性。
在第四章,我们考虑了在N=4下一类含临界位势和不定权的双调和问题,通过一个最佳系数的Hardy不等式,利用山路引理证明了问题非平凡解的存在性。
本文最后一章,给出了一个满足两个守恒律的周期Camassa-Holm方程的差分格式.同时证明了收敛性.数值模拟显示了时间发展和孤立波方程之间的相互影响。