分数阶Sobolev空间自上世纪初以来,特别是在调和分析的框架中,已经广为人知.同时,对于含有分数阶算子的方程更成为非线性分析中一个非常有趣的研究领域.分数阶Sobolev空间及分数阶算子无论是单纯的数学研究还是具体的现实应用,近年来都受到了人们的广泛关注.从实际应用的角度看,已经被广泛的应用到各个领域.随着自然科学和工程技术中一些非线性问题的不断出现,常指数Sobolev空间及其相应的算子逐渐显露出自身的局限性.变指数Lebesgue空间及变指数Sobolev空间的出现能够很好的刻画一些非线性问题,例如,对物理学中“逐点异性”现象的刻画,特别是变指数函数空间及其算子在电流变学中得到应用后,人们对变指数问题的研究得以深入开展.本文利用L∞空间和变指数Lebesgue空间理论将常指数分数阶Sobolev空间推广到变指数形式,研究其基本属性及在偏微分方程中的应用.本文的主要研究工作如下:1.将分数阶Sobolev空间Ws,p中的两个常指数s,p推广为变量形式,引入一类变指数分数阶Sobolev空间Ws（·）,p（·）.首先,利用L∞空间定义出变指数空间Ws（·）,∞.在此基础上给出伪模φ,利用变指数Lebesgue空间理论的方法,构建变指数分数阶Sobolev空间Ws（·）,p（·）.随后,研究其完备性等基本性质.2.给出变指数分数阶Sobolev空间Ws（·）,p（·）在有界区域上的紧嵌入定理.首先,证明当指数s2（x）≥s1（x）,a.e.x∈Ω时,空间Ws2（·）,p（·）（Ω）连续嵌入到空间Ws1（·）,p（·）（Ω）中.然后利用有限覆盖定理构造出有限个集合,结合常指数分数阶Sobolev空间嵌入定理证明当s（x）p（x）＜n时,空间Ws（·）,p（·）（Ω）连续且紧嵌入到空间Lq（·）（Ω）中（这里q（x）＜p*（x）:=np（x）/（n-s（x）p（x））,x∈Ω）.从而,进一步得到当s（x）p（x）=n时的嵌入结果.在这里考虑变指数p,q的取值范围是[1,+∞).3.给出变指数分数阶Sobolev空间Ws（·）,p（·）的延拓定理.利用有限覆盖定理,单位分解定理及所得到的紧嵌入定理将Ws（·）,p（·）（Ω）中的函数延拓到Ws（·）,p（·）（Rn）中,得到延拓后的函数在Ws（·）,p（·）（Rn）范数下的估计式.4.作为应用,研究两类s（·）-p（·）-Laplace方程的Dirichlet边值问题.首先,基于具有强制性泛函的临界点定理,得到一类包含非线性项的s（·）-p（·）-Laplace方程弱解的存在唯一性.其次,利用得到的紧嵌入定理,对一类带有势函数项的s（·）-p（·）-Laplace方程Dirichlet边值问题进行研究,通过山路定理和Ekeland变分原理得到方程弱解的多重性.