【摘 要】
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度量空间上的加倍测度是欧氏空间上的Lebesgue测度在度量空间的推广,它是度量空间上分析问题研究必要的概念,同时又是几何测度论的重要研究对象(见文献[1]).本文讨论直线上的
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度量空间上的加倍测度是欧氏空间上的Lebesgue测度在度量空间的推广,它是度量空间上分析问题研究必要的概念,同时又是几何测度论的重要研究对象(见文献[1]).本文讨论直线上的加倍测度.众所周知,直线上存在关于Lebesgue测度奇异的加倍测度(见文献[19]).我们仅讨论直线上关于Lebesgue测度绝对连续的加倍测度.David Cruz-uribe,Sfo 在文章Piecewise Monotonic Doubling Measures中证明了以下定理:若ω是[0,∞)上的一个单调递减权函数,且存在常数α ∈(1/2,1),使得对任意的t ∈[0,+∞)有不等式αw(t)≤ω(2t)成立,则ω是加倍权函数;反之,若ω是[0,∞)上的一个单调递减加倍权函数,则存在常数α ∈(,1),使得对任意的t∈[0+∞)有不等式αω(t)≤(2t)成立.上面定理留给我们两个问题,问题1:任给[0,∞)上的一个单调递减加倍权函数ω,是否存在常数α ∈(1/2,1),使得对任意t ∈[0,+∞),有不等式αω(t)≤ω(2t)成立.问题2:若ω是[0,∞)上的一个单调递减权函数,满足:存在常数α ∈(0,1/2],使得对任意t ∈[0,+∞)有不等式αω(t)≤ω(2t)成立,是否是一个加倍权函数.本文中,我们将借助于正项级数的通项与尾项的收敛速度的比较以及极大函数的性质(见文献[17,20])来回答上述两个问题,得出相应的结论.这篇论文主要包含五章,第1章简述了本论文的背景.第2章介绍了直线上的加倍测度,加倍权函数的相关概念及性质.第3章讨论正项级数的通项与尾项的收敛速度.第4章讨论上述问题1与问题2.运用第3章的结果,构造了两类权函数,否定地回答了问题1与问题2.第5章提出了与本文密切相关的可进一步研究的问题.
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