【摘 要】
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对含Cauchy核奇异积分的数值计算作了一些基础性研究,构造出奇异积分的两类高精度求积公式,用函数实例数值实验验证了求积公式渐进性与实验数据一致.全文共分五章.第一章介绍了含Cauchy核奇异积分高精度数值求积和正常积分高精度求积公式的研究现状,对本文的主要创新工作进行了简要介绍.第二章讨论正常积分的高精度数值求积问题.首先介绍了正交多项式及Stieltjes多项式的一些基本概念及性质,它们为构造
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对含Cauchy核奇异积分的数值计算作了一些基础性研究,构造出奇异积分的两类高精度求积公式,用函数实例数值实验验证了求积公式渐进性与实验数据一致.全文共分五章.第一章介绍了含Cauchy核奇异积分高精度数值求积和正常积分高精度求积公式的研究现状,对本文的主要创新工作进行了简要介绍.第二章讨论正常积分的高精度数值求积问题.首先介绍了正交多项式及Stieltjes多项式的一些基本概念及性质,它们为构造正常积分高精度求积公式提供必要的配件;再以Legendre多项式、Stieltjes多项式零点为求积节点,建立了正常积分的Gauss-Kronrod求积公式,论述了选取的求积节点能使构造的求积公式代数精度最大;最后讨论了正常积分的求积公式余项积分表达式,建立的求积余项积分表达式是本文的新工作之一.第三章讨论含Cauchy核奇异积分的高精度数值计算问题.用分离奇异性的方法,将含Cauchy核奇异积分的数值求积问题转化为正常广义积分的求积问题,用正常积分的Gauss-Kronrod求积公式作为工具,构造出所讨论的奇异积分的GaussKronrod求积公式;特别是解除了要求密度函数满足解析性的限制,从而推广了Rabinowitz的工作,更简洁地计算了求积公式的求积系数,讨论了奇异积分求积公式的余项积分表达式;其次,建立了奇异积分的另一类Gauss-Kronrod求积公式,讨论了此类求积公式余项积分表达式及代数精度问题,这是一个全新的工作;另外,对Rabinowitz构造的奇异积分求积公式,也给出了求积余项积分表达式.本章所述工作都是本文的主要创新点.第四章,对建立的一个正常积分的Gauss-Kronrod求积公式和两类奇异积分的Gauss-Kronrod求积公式在计算机上用Matlab编程实现函数实例计算.实验中实例的误差结果和数值积分图像,说明了所构造的求积公式相较于一些经典求积公式的优越性及可行性.实验结果与理论分析相符.
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