【摘 要】
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本论文包括两个主题：第一部分是关于Kapustin-Witten方程的研究；第二部分是讨论高维流形中的复平坦联络及其一些应用等。本文具体安排如下：在引言中,我们详细介绍了Kapustin-Witten方程的物理背景和最近的一些进展。与此同时也简要介绍了我们的相关工作。在第一章中,我们介绍论文中所涉及的关于规范理论的一些基本概念和结果。在第二章中,我们研究了证明了Kapustin-Witten方程的
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本论文包括两个主题：第一部分是关于Kapustin-Witten方程的研究；第二部分是讨论高维流形中的复平坦联络及其一些应用等。本文具体安排如下：在引言中,我们详细介绍了Kapustin-Witten方程的物理背景和最近的一些进展。与此同时也简要介绍了我们的相关工作。在第一章中,我们介绍论文中所涉及的关于规范理论的一些基本概念和结果。在第二章中,我们研究了证明了Kapustin-Witten方程的分析性质,还证明了在四维流形满足某些很弱的条件下,额外场是具有非零一致下界的当A不是反自对偶联络。我们还讨论了Vafa-Witten方程也具有类似的现象,还证明了Vafa-Witten方程的解的模空间不是连通的。在第三章中,我们回顾了Uhlenbeck [34]的经典的结果。她证明了当主丛上存在具有LP曲率充分小的联络A时,这个主丛存在一个平坦联络Γ和一个整体的规范变换g使得规范变换下的联络g*A关于平坦联络Γ是Coulomb规范固定的并且得到原联络A与平坦联络Γ之间Sobolev距离的估计。这个定理在第四章的证明中起到了关键作用。在第四章中,我们研究了在高维流形下的复平坦联络,观察到在Kahler流形上复平坦实际上是稳定的Higgs丛的一种特殊情形。我们用Bochner技巧证明了如下两个定理：（1）假如（E,θ）是紧致的Kahler-Einstein流形且其第一陈类大于零（c1（E）>0）上的半稳定的Higgs丛,那么E一定是半稳定的向量丛；（2）假如（E,θ）是紧致的Calabi-Yau流形上的稳定的Higgs丛,那么E一定是稳定的向量丛。
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