近年来,代数几何方法和Riemann-Hilbert方法作为一种研究可积方程最有效的方法引起人们越来越多的关注。代数几何方法是在黎曼曲面、超椭圆曲线、Abel-Jacobi坐标、黎曼θ函数以及反问题等理论的基础下对可积方程的代数几何解展开研究。Riemann-Hilbert方法则是利用Riemann-Hilbert问题为主要工具来研究可积方程,主要思想是通过可积方程的Lax对来构造与之相应的Riemann-Hilbert问题,然后研究可积方程的孤立子解,初边值问题以及初值问题解的渐近行为。本文主要利用代数几何方法研究了一类晶格方程的代数几何解以及依据Riemann-Hilbert方法研究了 Kundu方程组的N-孤子解。此外,还讨论了 Kundu方程组的单孤子解和双孤子解。全文主要结构如下:第一章简要的概述了孤立子理论的发展背景,并简单的介绍了代数几何方法和Riemann-Hilbert方法的思想及应用。第二章研究了晶格方程的代数几何解。首先,根据离散可积系统的屠格式理论,结合离散零曲率方程推导出了一族晶格可积方程,并依据零曲率方程和Lenard递推序列,得到了晶格可积方程另一种等价的表达形式。其次,通过椭圆坐标,将晶格可积方程的微分-差分形式的表达式分解成可解的常微分方程。然后,利用Abel-Jacobi坐标,将可积方程族的连续流和离散流拉直,并依据黎曼θ函数以及黎曼定理,构造了晶格可积方程的代数几何解。第三章构造了 Kundu方程组的Riemann-Hilbert问题。首先,依据零曲率方程,推导出了 Kundu方程组的表达式。其次,利用Kundu方程组的Lax对,对Kundu方程组的谱问题进行分析,建立了一个与Kundu方程组有关的Riemann-Hilbert问题。然后将Kundu方程组的求解转化为相应的Riemann-Hilbert问题的求解。第四章研究了 Kundu方程组的从孤子解。基于Kundu方程组的Riemann-Hilbert问题,讨论了解的长时间渐近行为以及Kundu方程组的N-孤子解。当跳跃矩阵是单位矩阵时,即在无反射的位势情况下,研究Kundu方程组的Riemann-Hilbert问题,得到Kundu方程组的N-孤子解。除此之外,还对Kundu方程组的单孤子解和双孤子解进行讨论。第五章对全文进行总结,并对未来的研究工作做出了展望。