论文部分内容阅读
设G是幂零类为2有限p-群,cd(G)表示群G的不可约特征标维数集合.本文主要研究了仅有两个不可约特征标维数的有限p-群G.首先考虑一般的情况,当cd(G)= {1,pfk}时G的导群G’的结构,同时给出了满足cd(G)= {1,pfk}的群G的生成元个数.另一方面,考虑特殊情况k = 2时,不难发现|G/Z(G)| ≥2 p4,因此分别从|G/Z(G)| = p4以及|G/Z(G)| = p5的角度出发,分别给出|G’||≤p2时群G的结构,而针对|G’|>p2的情况相对复杂,未作讨论.下面列出本文主要得出的结论:定理3.1设G是幂零类为2的有限p-群且cd(G)={1,k.则G’为初等交换p-群.推论3.1设G有限p-群且cd(G)= {1,pk}.则d(G)≥ 2k,其中d(G)表示G的最少生成元个数.定理4.1设G为有限非交换p-群.G/Z(G)为初等交换p-群且p(?)cd(G),则对G的每个极大子群M都有M’ = G’.特别的,若|G/Z(G)| = pn,则|G’| ≤ pCn-1 2,其中n2 ≥ 4.定理4.2设G是幂零类为2的有限p-群且cd(G)= {1,p2}.则有以下情况成立:1.当|G/Z(G)| =p4 时,(1.1)若|G’| = p,则 G =(G1*G2)· Z(G),其中 G1,G2 为极小非交换 p-群.(1.2)若|G’| =p2,则G =(x1,x2,x3,x4,Z(G)|[xi,x3]=[x2,x4]= 1,[x2,x3]= a,[x1,x4]=at1,[x1,x2]= b,[x3,x4]= al2bk2>;其中(t1,p)= 1,(k2,p)= 1 且 G’ =×.2.当|G/Z(G)| =p5 时,(2.1)若|G’| =p,不存在这样的p-群.(2.2)若|G’|=p2,G =×.