作为最为古老的数值离散方法之一,有限差分方法因其简单易懂而备受初学者的青睐,也因此而成为诸多数值离散类教科书的必讲内容。然而,令许多从事数值计算尤其是流体动力学数值仿真工作的研究人员感到困惑的是：对数值离散方法具有建立基本概念和启蒙思想作用的有限差分方法在实际工程问题的应用中却难觅其踪迹。在固体力学问题的计算应用中有限元方法已经相当成熟,而几乎所有的流体力学商业计算软件都是基于有限体积框架的,仅有少数研究人员基于有限差分方法编写计算代码,并主要结合高阶精度差分格式应用于绕简单外形的流动机理研究中。目前有限差分方法难以应用于大规模的工程实际问题中,其主要原因是有限差分方法在复杂网格中的计算鲁棒性较差。不同于有限体积方法,有限差分方法实施的前提是坐标变换(从物理空间到计算空间)及其逆变换(从计算空间到物理空间)的严格成立,因此有限差分方法强烈依赖于坐标变换。大量的研究工作表明：在坐标变换的诸多特性中,其几何守恒律特性对有限差分方法的计算鲁棒性具有决定性的影响。坐标变换的几何守恒律特性在微分意义下是自动成立的,但在差分格式的离散下却不一定成立。差分离散下几何守恒律的难以满足严重影响了有限差分方法尤其是高阶精度有限差分方法的鲁棒性,极大地限制了其在工程实际问题中的应用。本文详细分析了满足几何守恒律的充分条件(CMM),并在CMM条件的指引下依据各变换系数离散后的几何意义给出了其对称守恒计算形式(SCMM),随后还对SCMM的优越性通过数值试验进行了验证。针对几何守恒律误差对数值离散结果的影响,’本文首先详细分析了网格光滑性对几何守恒律误差数值收敛精度的影响规律,随后分析了几何守恒律的满足与否对数值离散结果数值精度的影响,并均通过相应的数值试验对理论分析的结论进行了验证。本文的研究结果表明：几何守恒律的满足能够有效减小数值离散误差,而当网格不够光滑时,几何守恒律的满足能够将数值离散结果的精度提高整整一阶。在分析雅可比的不同计算形式所代表的几何意义时,我们发现不同计算形式离散后的数值体积是不一样的,当计算网格单元为平行六面体时,三种计算形式的数值体积相等；而当网格单元不是平行六面体时,三个数值体积一般不相等。一般而言,计算网格单元相对于平行六面体的畸变愈大,则雅可比的三种计算形式离散后的数值体积差异便愈大,据此本文提出了基于SCMM的网格检测方法,可以对结构网格的网格质量进行检测。与现有商业软件的网格检测方法不同,本文的网格检测方法与数值离散格式相关。即使是对于同一套网格,数值离散格式不同时其检测结果也是各异的,能较为充分地体现网格质量与数值离散格式的相关性。最后,在相关研究结果的基础上,本文初步实现了高阶精度有限差分格式对三维复杂外形流动的数值模拟能力。全文共分为七章,各章内容概述如下：第一章为引言。首先简要介绍了有限差分方法尤其是高阶精度有限差分方法的研究历史与现状,并指出几何守恒律问题的悬而未决直接限制了高阶精度有限差分方法的推广应用。随后对有限差分方法中关于几何守恒律问题的研究工作进行了简单叙述,并分别介绍了体积守恒律和面积守恒律的国内外研究概况。最后围绕有限差分方法的几何守恒律问题提出了本文的主要研究内容。第二章为几何守恒律问题的提出。首先简要介绍了有限差分方法中的坐标变换关系,并据此将一般守恒律控制方程由直角坐标系变换到计算坐标系。在计算坐标系下给出有限差分离散算子的一般约定特性后,由自由流守恒条件导出有限差分离散中的几何守恒律问题。第三章为几何守恒律问题的理论研究。在简单分析了国内外在儿何守恒律方面的各种解决途径的优劣后,依据满足几何守恒律的充分条件,提出了有限差分方法中网格变换导数的对称守恒计算方法(SCMM)。并在随机网格中对SCMM的有效性进行了数值验证,基于线性和非线性问题的数值实验均表明：本文提出的几何守恒律解决途径(SCMM)能有效减小有限差分方法在非光滑网格中的离散误差,尤其是对于非线性问题。第四章为网格光滑性对几何守恒律误差的影响研究。对几何守恒律不满足时(网格变换导数的内、外层差分算子不相同)其数值误差与网格光滑性的关系进行了理论推导,并通过数值实验对理论推导的正确性进行了验证。另外,对数值实验中涉及的不同精度误差的统计分析结果也给出了详细的理论证明。第五章为几何守恒律误差对数值离散精度的影响研究,通过数值实验和理论分析研究着重考察了在不同光滑程度网格中,几何守恒律的满足与否对物理解的数值离散精度的影响。几何守恒律的满足能有效减小物理解的数值离散误差,而当计算网格不是足够光滑时,几何守恒律的满足还能将物理解的数值离散精度提高整整一阶。第六章为网格检测方法研究。针对现有网格检测方法与数值离散过程脱节的问题,提出了与数值离散方法相关的SCMM网格检测方法,并基于坐标变换雅可比的不同离散形式之间的差异体现了网格单元与标准平行六面体之间的差异给出了SCMM网格检测方法的检测指标。随后的数值实验表明：SCMM网格检测方法对网格质量较为敏感,且能较好地体现数值方法对网格质量的依赖性。第七章是本文的结束语。概括了论文的主要创新点,并对未来的工作方向进行了展望。