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波动方程是物理和力学及工程问题研究中提炼出的数学模型.本文研究了具有阻尼项的非线性波动方程的初边值问题解的爆破性与能量估计.
论文的内容主要如下：首先，对定义在具有光滑边界的有界锥形区域Ω上波动方程的初边值问题uu-α△u+δ|ut|p-1ut=μ|u|q-1ut≥0x∈Ω，u(x，0)=u0(x)ut(x，0)=u1(x)x∈Ω，(αu/n+δu)|Ωt≥0.其中δ＞0，μ∈R，p＞1，q＞1，n是Ω的单位外法向，α＞0.当q＞p，u0(x)∈W1,2(Ω)，u1∈L2(Ω)且E(0)＜0时，上述问题的解u(t)在Lq+1(Ω)范数下必在有限时间内爆破，即存在T＞0，使lint→T‖u‖q+1=∞.其次，对在一般外力作用下的波动方程与初边值问题utt-α△u+δ｜ut｜q-2ut=f(x，t)t≥0x∈Ω，u(x(x，0)=u0(x)ut(x，0)=u1(x)x∈Ω，(αu/n+δu)|Ω=0t≥0.定义它的能量为E(t)=1/2(‖ut‖22+α‖▽‖22+∫Ωσu2ds).那么该方程的解具有如下的能量估计式，即存在C＞0，使t≥0，有E(t)≤(1+t)-2θ/q1＜θ≤q/q-2，且E(t)≤C(1+t)q/q-2θ＞q/q-2.