本文在调查和总结现有的分析线弹性和塑性v形切口／裂纹尖端附近区域的应力奇异性方法和断裂强度分析的基础上,研究了使用插值矩阵法分析线弹性、塑性v形应力奇异性和边界元法分析V形切口/裂纹结构的力学场问题。创立了一个新的分析途径—扩展边界元法(the extended boundary element method—XBEM),研制了相应的计算程序,有效和准确地求解了线弹性、塑性V形切口/裂纹应力奇异性指数和尖端附近区域的奇异应力场。全文主要研究工作及创新点如下：1提出插值矩阵法分析固体结构切口尖端区域热流密度奇异性。基于在切口尖端附近区域温度场的渐近展开表达式,提出了计算切口/裂纹尖端处热流密度奇异性特征指数的新方法。将温度场的表达式引入稳态热传导微分方程,得到关于各向同性材料切口/裂纹奇异点处的一组非线性常微分方程的特征值问题,再采用变量代换法,将该非线性常微分方程组转化为一组线性常微分方程组。运用插值矩阵法求解,获得各向同性材料切口/裂纹尖端处多阶的热流密度奇异指数,同时获得其相应的特征角函数。2提出插值矩阵法分析复合材料结构切口尖端区域应力奇异性。基于复合材料切口尖端位移场的渐近展开,将切口的反平面平衡控制方程转化为关于切口奇性指数的微分方程特征值问题,采用插值矩阵法计算该方程组的特征值,获取了切口尖端的应力奇性指数。研究了单相材料切口、双相材料切口以及止于异质界面切口的奇异性问题,算例表明本文方法可以一次性计算出多阶奇异性指数。对所取得的非奇异指数尽管切口不表现出奇性状态,但它们却是描述切口尖端完整应力场必不可少的参量。3提出插值矩阵法分析三维柱向切口/裂纹尖端区域应力奇异性难题。在三维柱向切口根部区域引用位移渐近展开式,代入线弹性力学控制方程,导得切口/裂纹应力奇性指数的常微分方程组特征值问题。然后采用插值矩阵法,一次性地计算出三维柱向切口的各阶应力奇性指数,并可同时获取相应的特征角函数。算例结果表明本文方法是分析三维切口应力奇异指数的一个有效的路径,三维切口的前若干阶应力奇性指数解收敛于平面应变切口应力奇性指数理论值,但若直接用平面应变理论预测三维切口应力奇性指数将导致部分奇性指数缺失。本文方法的一个重要优点是以上求解的特征角函数和它们各阶导函数具有同阶精度,并且一次性地求出前若干阶特征对,插值矩阵法计算量小,易于和其他方法联合使用。这些优点在后续求解尖端区域完全应力场和温度梯度场非常优越。4创立了扩展边界元法,用于分析线弹性平面V形切口/裂纹结构的位移场、应力场和裂纹扩展过程。对切口/裂纹尖端区域采用Williams渐近展开式表达,将其代入弹性力学基本方程中,尖端区域的应力奇异性指数及其对应的位移和应力角函数由插值矩阵法求解常微分方程组获得。由于在远离切口尖端的区域无应力奇异性,将尖端区域挖出后,其外围的剩余结构应力场无奇异性,由常规的边界元法分析。将尖端区域Williams渐近展开的特征分析法与边界积分方程结合,解出切口尖端附近应力奇异性区域的各应力场渐近展开项系数,获得平面切口／裂纹结构完整的位移和应力场,从而建立了扩展边界元法。①采用扩展边界元法研究了非奇异应力项对中央含V形切口试样的表观断裂韧度和临界荷载预测值的影响。结果表明：考虑非奇异应力项时,脆性断裂的表观断裂韧度和临界荷载的预测值要比忽略非奇异应力项时的预测值更接近实验值。②基于考虑非奇异应力项贡献的最大周向应力脆性断裂准则,运用扩展边界元法分析了边缘含V形切口/裂纹半圆形弯曲试样在荷载作用下的启裂方向,对切口/裂纹扩展过程给出了自动跟踪方法,通过算例证明了扩展边界元法的正确性和有效性。5提出了分析幂硬化塑性材料V形切口和裂纹尖端区域的应力奇异性一个新途径。首先在切口和裂纹区域采用自尖端径向度量的渐近位移场假设,将其代入塑性全量理论的基本微分方程后,经过一系列推导,得出包含应力奇异指数和特征函数的非线性常微分方程特征值问题。然后采用插值矩阵法迭代求解导出的控制方程,一次性得到一般性塑性材料V形切口和裂纹的前若干阶应力奇异阶和相应的特征函数,本文获得的前3阶应力奇异指数有3～5位有效数字,并且同一阶的特征函数和其导函数的计算精度与对应的奇异指数计算精度同阶。目前关于平面塑性V形切口他人文献中鲜见有第2阶以上的可靠解。6创立了扩展边界元法分析V形切口/裂纹尖端局部弹塑性奇异应力场。将含V形切口结构分成围绕切口尖端的塑性局部区域和外围的剩余结构两部分。基于切口尖端区域特征分析求出的多重塑性应力奇性指数和相应的位移、应力特征角函数,将尖端区域塑性变形的位移和应力表示成有限项奇性指数和特征角函数的线性组合,然后在挖去小区域后的剩余结构考虑为线弹性变形,由边界积分方程离散求解。两部分计算列式联立,由此精细地计算出V形切口尖端区域的塑性位移场、多重奇异应力场和应力强度因子。本文的扩展边界元法解符合切口尖端局部塑性奇异应力场的解析规律,为弹塑性V形切口/裂纹的疲劳和断裂扩展分析提供了一个有效新途径。