光学是一门古老而又新兴的学科,光子晶体的提出为光学学科注入了新的活力。Yablonvitch和John在1987年分别提出光子晶体的概念,将介电常数不同的介电材料在空间中周期排布而形成的周期性结构称为光子晶体,和电子晶体一样,光子晶体也具有能带结构,可以控制光子在其中的传播行为,因而获得了广泛的研究和应用,成为科研领域的热点之一。2005年Centeno和Cassagne提出了一种新型的光子晶体,称为渐变折射率光子晶体。通过修改普通光子晶体的有关参数,比如填充系数,折射率或者晶格常数,就可以得到渐变折射率光子晶体。渐变折射率光子晶体的出现又引发了许多应用,这也是本论文的主要研究内容。本文首先从光子晶体的计算理论出发,详细介绍了光子晶体的理论分析方法之一:时域有限差分法,内容包括FDTD差分格式、吸收边界条件和解的稳定性。该方法将用于计算光子晶体能带以及模拟光子晶体中电磁场的分布。本论文研究重点在于渐变折射率光子晶体的负折射和聚焦特性以及相关应用。在这部分工作中,首先通过FDTD数值计算研究了三角晶格光子晶体在可见光波段的负折射特性。接下来系统研究了渐变折射率光子晶体的各项参数对其聚焦性能的影响,这些参数包括代表折射率变化梯度的参数n,空气孔的形状和填充因子A。通过数值仿真和分析,得出以下结论:1.在光子晶体第二能带存在明显的负折射现象,并且首次发现越靠近第二能带的中心区域,负折射现象越明显这个规律,这一规律为今后光子晶体器件的设计与应用提供了借鉴。2.通过比较不同折射率变化梯度的渐变折射率光子晶体的聚焦性能,发现n=0.5的渐变折射率光子晶体具有较好的聚焦性能,包括较小的焦点尺寸和较长的焦距;3.由椭圆形空气孔组成的渐变折射率光子晶体具有较长的焦距。由长方形空气孔组成的渐变折射率光子晶体虽然焦距较小,但是它具有较小的焦点尺寸和较大的透过率,因而具有较大的应用价值。由三角形空气孔组成的渐变折射率光子晶体聚焦效果较差,不适合于聚焦方面的应用。4.随着填充因子参数A的增加,渐变折射率光子晶体的焦距变长,焦点尺寸变大。其中由椭圆形空气孔组成的渐变折射率光子晶体的聚焦特性对填充因子参数A的变化不太敏感,而由长方形空气孔组成的渐变折射率光子晶体的聚焦性能对填充因子参数A比较敏感,因而可以通过改变填充因子参数A来灵活调节其聚焦参数。以上这些结论对光子晶体器件的设计和应用具有直接或间接的指导意义。论文最后提出了一种新颖的光学分束器结构并对其进行了参数优化。该分束器由渐变折射率三角形晶格光子晶体和正方形晶格光子晶体组成,它充分利用了渐变折射率三角形晶格光子晶体的聚焦特性和正方形晶格光子晶体的禁带特性,可以同时实现对入射光束的分束和聚焦。相对于传统的光学分束器,这种光学分束器具有许多突出的优点,该器件有可能应用于未来的无源光网络。