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图论与化学有史以来就有着非常紧密的联系,化学结构可以很简单地表示成图(化学图或分子图)的形式.拓扑指标是理论化学中的一种拓扑不变量,它们是一些不依赖于图的标号和画法的实数.为了更好的研究分子的性质,数学家和理论化学家提出了很多拓扑指标并获得很多重要深刻的结果.本论文以图的拓扑指标为主线展开讨论.第一部分是对本论文所涉及问题的背景,进展以及所得结果的一个综述.以下五部分为本论文的主要贡献:定义κ(G):=κ, λ(G):=λ, δ(G):=δ.1932年在[H. Whitney, Congruent graphs andthe connectivity of graphs, Amer. J. Math.54(1932)150-168]中证明了一个著名的定理:对任意的图G,有κ≤λ≤δ.随后判断一个图是否是极大边连通的(λ=δ)问题得到很多学者的关注[A. Hellwing, L. Volkmann, Maximally edge-connected and vertex-connectedgraphs and digraphs: A survey, Discrete Math.308(2008)3265-3296].第二章我们借助广义零阶Randic′指标(R0α)证明了:当α≤1且R0α(G)<2δα δα+1+(δ1)(δ+1)α+(δ1)(n δ1)α+(2n3δ2)(n δ2)α时,图G是极大边连通的;若图G中不含三角形,当R0+1α(G)<δα δα+(δ1)(δ+1)α+2α(δ1)(n2δ+2)α+2α(2n5δ+1)(n2δ)α时,图G是极大边连通的.我们的结果推广了[P. Dankelmann, A. Hellwig, L. Volkmann,Inverse degree and edge-connectivity, Discrete Math.309(2009)2943-2947]中给出的定理.当0<α <1时我们证明了类似的结论并刻画了相应的极图(定理2.2.1和定理2.2.2).最后我们获得判断一个图是超边连通的充分条件(定理2.3.6)并推广了[Y. Tian, L. Guo, J.Meng, C. Qian, Inverse degree and super edge-connectivity, International Journal of Comput.Math.89:6(2012)752-759]中的一个定理.问题2.3.8和问题2.3.9是我们未来旨在解决的两个主要问题.设Q是图G的任意拓扑不变量,在第三章我们提出图的[Q,k]-分解问题的概念,着重研究图的H-指标, WW-指标, R0α-指标, RDD+-指标, RDD-指标以及χα-指标的[Q,k]-分解问题.获得了八个诸如7(n)2≤WW(3; Kn)≤2(n+2)4+(n)2+4(n1)的最好可能的结果.我们的结果(定理1.36)实质性地推广了[L. Zhang, B. Wu, The Nordhaus-Gaddum-type inequalities for some chemical indices, MATCH Commun. Math. Comput. Chem.54(2005)189-194]中给出的定理.本章还提出几个进一步研究的问题(猜想3.2.17等).第四章我们首先给出了图的Co-PI指标的等价定义并研究其基本性质.在此基础上刻画了图的笛卡尔积的Co-PI谱半径并得到如下结果: σ′kl(G1G2)=|V1|σ′l(G2)+|V2|σ′k(G1)和μ′kl(G1G2)=|V1|μ′l(G2)+|V2|μ′k(G1),其中k=1,2,···,|V1|并且l=1,2,···,|V2|.同时我们给出第二和第三阶Co-PI谱距的上下界.最后利用Co-PI指标的等价定义推导出图的笛卡尔积的Co-PI指标的精确表达式(定理4.3.1和定理4.3.3).第五章我们介绍了图的可Q-最大最小化问题的概念,并证明了当图的点连通度κ给定时,有RDD (G)≤21n4217n3+21(κ3κ2+3κ+18)n2+21(κ311κ20)n+21(κ2+9κ+8),这里的结果是最好可能的.当匹配数β给定时我们研究了图的可RDD+-最大化和可RDD-最大化问题(定理5.1.3和定理5.2.9).最后我们也考虑了独立数α给定时图的可RDD+-最大化问题,并确定了达到此上界的极图(定理5.3.4).第六章讨论了Tadpole图,轮图以及梯形图的剖分的线图的几种拓扑指标的计算公式,我们的结果推广了[P. S. Ranjini, V. Lokesha, I. N. Cangu¨e, On the Zagreb indices of theline graphs of the subdivision graphs, Appl. Math. Comput.218(2011)699-701]中获得的几个定理.