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论文主要考虑的内容是上同调与扩张，根据文献[1]，具体的考虑作为对称的monoidal范畴的三角Hopf代数H的模范畴的上同调与扩张及它们之间的关系。 第一部分中，介绍了本文所需要的预备知识，主要是拟三角、三角Hopf代数的定义，他们的模范畴的性质定理，以及R的性质。 第二部分中，根据内容的需要，介绍了三角Hopf代数H的模范畴上的基本概念：H-模代数、H-模余代数、H-模双代数、H-模Hopf代数、HM中的左A-模、左A-模代数、左A-模余代数、HM的右B-余模、HM中的对极、右B-余模代数、右B-余模余代数及它们分别对应的范畴。证明了一些重要的性质：2.3注（2）：交换的H-模代数的张量积仍然是交换的。以及2.6、命题。 第三部分介绍H-模双代数B在HM中的左B-模M中的上同调，首先根据内容的需要，证明了 3.1、命题：B为余交换的H-模双代数，则存在伴随对＜T，U＞，其中：U：H，BCoalg→HCoalg为忘却函子；T：HCoalg→H，BCoalg，满足：其中讨论了妒。nZ0在HM中的左B一模结构为灿刚dB伽－l以及它的求。次余积的表达式。其次为了定义上同调根据3．1中的伴随对定义了半单复形，又根据（H，B）RB叭、一做了相应的余半单复形。为了具体的 j 算，牙 据2．6有： 3。、具N（（i；。；凡（旧””’．V）、。J门｝；。。白 实现，得多同构的复形｛egH（ 左＊．八八r）。三＊及其正规子复形。最后具体的i算了2－余循环及2－余边界。 第四部分介绍H一模代数扩张，首先给出了H一模代数扩张的定义，定义了几个重要的态射：证明了关于这几个态射与扩张的等式： 12、定理：令E为H一模代数扩张，…、，山I、、I）为由厂导出6 系统，则VQ．b．C三B。；，I；E V有：则厂＝门jAICmpC3B、入＝idc）为H－模代数扩张一（义．八＊满足定理2中6 ＜）（＊）（L’i）然后给出了H一模代数扩张同态的定义，并且证明了扩张同态与由扩张导出的态射之间的几个关系式： 4石龟命题：J：凤一凤为＊一模代数扩张同态，N，、，刁’，人)；（J，v”，一”九）为由 El，EZ导出6态射系统，令：及H一模同态为＊一模代数扩张同态的充要条件。最后对偶地列出了H一模余代数扩张的定义及其相关性质。 第五部分讨论了H一模代数扩张与上同调之间的关系，首先有关于H川中的右、左B一余模代数的余张量积的性质： 5二、命题：B为余交换的H一模双代数，（人，p、、－＼一工。B．芦J丫邑p．丫．一．）（Xp士二二 一厂3X／永I间pl回二l）为H一V中6 右龟 左B一余模代数，若存在。川中的 B一余模余张量积：（－＼S叫。）则存在唯一的态射：11．11为一丫e 厂的H一模代数乡 构，且＊：必＼3 厂一回丫＠工为H一模代数同态。 然后给出了正则H一模代数扩张的定义及扩张正则的一个充要条件： 53、定理：JI为交换的H一模代数，B为余交换的H一模HOpf代数，对极为FB，令：（C．PC．厂。，nC．w，）为厂川中的右＊一余模代数，则下列命题等价：门存在映射 Q，人，满足：厂二卜一 C A C ＠ B．人：厂一 Al＠ B)为正则H一模代数扩张。… 存在二 e Reg。旧．C)O。M勺B、C)，与同构：。：JI一 C ＠“k最后通过： 5．4、弓理：E为＊－模代数扩张，＊＊。。；，，。；)为由E导出的态射系统，则： （i）若 E为正则 H一模代数扩张，B有对极 S。，则：V a，6 e 4B，nEM （1）b义＊ ＝6＊…))口阶·叫1呶咛·…)) 间NI（ ＠的 二 6（7wi》7（”·亦》丁＊《X·＊（…叩）》 且：o e Reg。（B ＠ B，M） （邑）若AIRIgH（B②B，M），则： （l）（八I．厂1I．11．二l间l］八j）6I（H，B多C色4lgl （2）口入I（。dB ＠＠T人门＊Txl（vB③。dB）＊7；、l（idB厂B） ＊《I（ZdBZ②三）＝w；三B （iii）若丁八＊ e Reg＊（B ＠ B．：＼I），且 B有对极 S＊，则 ie Reg二旧，C）且： 1V）二口（JF（b；））义《（b。）②J。（b。）》）1（J。（bI）》 i5丸弓理：／：凤一凡为＊一模代数扩张同态雪 （，／口三．小）．w多．＼多’．a！厂．叱）诊 为尸；．兄导出的映射系统诊g＝”人了 川若 EI为正则 H一模代数扩张，B有对极 SB，则：门）0 e R《g。旧．J，）且 V 6 e s有： g东（b）＝，B（（二”（b；l））f（一，’）印（b；。））)B)（＼”（b．l；）／（1’）甲（b（。）））＼I出／ 6 Rc＊ （B，C工）且 V b E B有： 汁丫问＝／卜丫汕))刎…)) 因止马正贝＠ （n）f：Cl－－ CZ同构 o g三 RegH（，．II） （iii）若 g e RegH（B，Al），则 ah＝吮都j 为口M，且 “＊gv。二 god。。。。)＊a。I0d。②g)＊几耳：Va，b 6 B有： 、Iwil)0 R‘·b（l）)g《R’·口（。）八2)) 二 gh＊川g（＊）义 R＊·5(且DT义（R‘·＊（＊）＠ b（＊））