本文给出了关于图不变量Randic指标与其它图不变量,诸如简单连通图的最小度、不含三角形简单图的最小度、连通简单图的围长的关系的三个猜想的完全证明.上世纪中叶,理论化学家们发现,有机物分子结构的各种不同性质的有用信息能够通过检验分子底图中相关的构造性不变量来获取.从而,称那些有化学用途的图不变量为“拓扑指标”,或者“分子结构指标”.它们主要用来设计并分析所谓的“结构-性质定量关系(QSPR)"和“结构-活性定量关系(QSAR)".1975年,由化学家Randic提出来了Randic指标就是其中的杰出代表.图G的Randic指标定义为其中d(u)表示顶点u的度数.Randic起初用它来描述有机化合物,特别是碳氢化合物中碳分子骨架图的分支程度.实际上,化学家们发现Randic指标与碳氢化合物里的诸如沸点、色谱保留时间、生成焓、关于蒸汽压强的Antoine方程式里的参数、表面积等物理化学性质有很好的相关性.这使得Randic指标被极其广泛地应用.人们大量地运用分子图的Randic指标来预测有机化合物的物理化学性质,特别是药理性质.二十世纪九十年代后半期,著名数学家Erdos开始从数学的角度,特别是在某些图类上Randic指标的极值问题,来研究Randic指标[8,9].这也引起了许多数学家对于Randic指标的兴趣.Fajtlowitcz提到,Bollobas和Erdos提出了以下极值问题,即：在给定顶点数目n和最小度δ的连通图中找出最小Randic指标.特别地,他们在文章[8]中解决了最小度δ=1的情形.2002年,Delorme, Favaron和Rautenbach [18]解决了当最小度δ=2的极值问题.并且对于一般的最小度δ,他们提出了一个关于此极值问题的猜想(本文记为“猜想3.1”).随后,猜想3.1关于δ=3、δ=[n/2]、最小度的顶点数目nδ≥n-δ(δ≤n/2)的情形,分别被李学良,史永堂[56],Pavlovic [66], Pavlovic, Divnic [68]证实.然而,在2007年,Aouchiche和Hansen利用一个称为AutoGraphiX的计算机系统找到猜想3.1的反例,并且给出一个修正过的猜想(本文记为“猜想3.2”).在解决最小度δ=n-2以及δ=n-3的情形时,我们发现猜想3.2不太精确[45],并将其调整为猜想3.3.我们将分别在3.2节和3.3节中分别给出对于满足δ≥n/2和δ≤n/2的任意最小度δ猜想3.3正确性的证明.至此,由Bollobas和Erdos提出,经过了数学工作者们十来年的努力,给定顶点数目n和最小度δ的连通图中最小Randic指标的极值问题终于得到了圆满的解决.在同一篇文章[18]中,Delorme, Favaron和Rautenbach还“解决了”在给定顶点数目和最小度δ的不含三角形的图类中的最小Randic指标问题.但是,刘慧清、陆玫、田丰[52]发现了[18]关于这个结论证明中的一个错误,从而结论未必正确,并且他们对于最小度δ=2的情形给出了肯定的证明.对于一般的δ,李学良和Gutman在其著作[46]以猜想的形式(本文记为“猜想2.1”)给出.本文将在第二章给出这个猜想的两种不同形式的证明.在文章[2]中,Aouchiche, Hansen, Zheng给出了关于Randic指标与连通图围长之间的关系的一个猜想(本文记为“猜想4.1”).2007年,刘桂真等人[59]证明了对于单圈图类猜想4.1是正确的.2008年,刘桂真等人[81]证明了猜想4.1对于双圈图类也是正确的.我们将在第四章给出了猜想4.1正确性的证明.