曲线曲面造型是计算几何(Computational Geometry)、计算机辅助几何设计(Computer-Aided Geometric Design,简称 CAGD)、计算机辅助设计(Computer-Aided De-sign,简称CAD)中的重要研究内容,其主要研究在计算机系统中曲线曲面的表示、设计与处理。曲线曲面的常用表示方法有B6zier方法、B样条方法,以及上述两种方法的推广形式——非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline,简称NURBS)方法。NURBS方法也是计算机辅助设计和制造(Computer-Aided Design and Manufactur-ing,简称 CAD/CAM)中最常用的数学模型。由于其不仅可以表示标准解析曲面,如锥形面、旋转曲面,还可以表示复杂的自由型曲线曲面,国际标准化组织将NURBS方法作为描述工业产品几何形状的唯一数学方法。NURBS曲线曲面的形状修改可通过改变节点向量、控制顶点和权因子来实现。NURBS曲线曲面有着类似于有理B6zier曲线曲面权因子的几何意义:当NURBS曲线曲面的一个权因子无限增大时,曲线曲面趋向于该权因子所对应的控制顶点。但是当全部权因子趋向于无穷大时,NURBS曲线曲面的退化形式(或极限形式)的几何结构与性质目前还研究甚少。Toric曲面是一类多边形有理参数曲面,其理论来源为代数几何中的toric簇和代数组合中的toric理想。由于toric曲面的基函数是Bernstein基的推广,因此toric曲面继承了有理B6zier曲面的许多良好性质。当其权因子都趋于无穷大时,toric曲面收敛于其正则控制曲面,此性质称为toric曲面的toric退化。本文利用toric曲面的toric退化性质,研究当所有权因子趋向于无穷大时NURBS曲线曲面的极限性质,即NURBS曲线曲面的toric退化性质,从而扩展了对NURBS曲线曲面权因子几何意义的理解;当权因子以指数函数速度趋向于无穷大时,研究有理Bezier曲线曲面和NURBS曲线曲面的退化性质,给出其极限形式;探讨NURBS曲线曲面的退化理论在计算机动画和曲线曲面变形中的一些应用。本论文的工作如下:1.通过定义NURBS曲线/曲面的一种特殊控制结构——正则控制曲线/曲面,结合Garcia-Puente等提出的toric曲面的toric退化性质,给出并证明正则控制曲线/曲面是NURBS曲线/曲面在所有权因子以幂函数形式趋向于无穷大时的极限曲线/曲面,即NURBS曲线/曲面的toric退化性质。本论文的工作解释了 NURBS曲线/曲面权因子趋向于无穷大时其极限曲线/曲面的几何结构,扩展了对NURBS曲线/曲面权因子几何意义的理解,当所有权因子趋向于无穷大时,NURBS曲线/曲面趋向于其正则控制曲线/曲面。2.定义具有指数函数形式权因子的有理Bezier曲线曲面并研究其退化性质。利用toric退化理论,分析其与具有幂函数形式权因子的有理Bezier曲线曲面的关系,给出具有指数函数形式权因子的有理B6zier曲线曲面退化的几何结构与性质。本论文的工作推广了有理Bezier曲线曲面权因子的几何性质。3.定义具有指数函数形式权因子的NURBS曲线曲面并研究其退化性质。利用toric退化理论,分析其与具有幂函数形式权因子的NURBS曲线曲面的关系,给出具有指数函数形式权因子的NURBS曲线曲面退化的几何结构与性质。本论文的工作推广了 NURBS曲线曲面权因子的几何性质。