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本文主要研究了四维的半欧氏空间中零曲线， Lorenzian曲面和超曲面的微分几何性质和奇点。自1850年法国数学家Bertrand J提出Bertrand曲线开始，许多数学工作者研究了在不同空间下各种曲线的Bertrand侣线存在的充分必要条件及相关微分几何性质和应用[1，9，10，19，29，30，35，48，59，66，67，74，94]。但是关于半欧氏空间中零Bertrand曲线的研究还很少。本文主要给出了在指标数分别为1和2的半欧氏空间中零Bertrand曲线存在的充分必要条件以及几何性质，同时也给出了在三维零锥上零曲线的奇点。与此同时，随着指标数的增加，子流形的种类也随之大幅增加，在指标数为2的半欧氏空间中存在多种类型曲面。由于切平面和法平面上的向量都为类空或者类时向量，故类空曲面和类时曲面与欧氏空间中一般曲面有类似的几何性质。 Lorenzian曲面的切平面和法平面都是占有一个指标的半欧氏平面，在法平面上可以构造类光Gauss映射，通过对类光Gauss映射的研究反映Lorenzian曲面的微分几何性质和奇点。四维的半欧氏空间中Lorenzian曲面的余维数为2，沿着类光法向量方向构造新的曲面(类光超曲面)，使得余维数降低一维，运用类光超曲面法向量来研究该超曲面的内蕴几何不变量及奇点。本文共分为五章。第二章主要介绍半欧氏空间的定义及半欧氏空间中几类特殊子流形和AW(k)型曲线的定义。第三章主要介绍四维Minkowski空间中零(类光)曲线的Frenet标架及零CartanBertrand曲线的微分几何性质。同时研究了在三维光锥和三维单位半欧氏球上AW(k)型零曲线的几何性质，运用Bruce奇点分类方法给出了由三维零锥上零曲线生成的正则副法零曲面的奇点。第四章主要介绍了三维半欧氏球中Lorenzian超曲面的1–参数Gauss指标族的几何性质以及当该超曲面沿Gauss指标族方向时的奇点分类问题，同时研究了在四维的半欧氏空间中一般Lorenzian曲面的奇点分类。在第五章中，运用Legendrian奇点理论和切触原理研究了由三维半欧氏球中Lorenzian超曲面和四维的半欧氏空间中一般Lorenzian曲面所生成的类光超曲面的奇点分类，同时研究了四维的半欧氏空间中偏零斜螺线所生成的B1型密切超曲面的奇点。