【摘 要】
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本博士学位论文主要研究求解一般形式正则化的大规模线性不适定问题min‖Lx‖subject to x∈={x|‖Ax-b‖≤τ‖e‖},（1）的算法,其中L是正则化矩阵,‖e‖是噪声水平,τ是略大于1的常数.我们首先提出了两个修正的截断随机奇异值分解（MTRSVD）算法分别求解大规模的超定和欠定问题.对于三种不适定度的不适定问题的随机SVDs（RSVDs）的逼近精度,建立了更加紧致的界.给出了RS
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本博士学位论文主要研究求解一般形式正则化的大规模线性不适定问题min‖Lx‖subject to x∈={x|‖Ax-b‖≤τ‖e‖},（1）的算法,其中L是正则化矩阵,‖e‖是噪声水平,τ是略大于1的常数.我们首先提出了两个修正的截断随机奇异值分解（MTRSVD）算法分别求解大规模的超定和欠定问题.对于三种不适定度的不适定问题的随机SVDs（RSVDs）的逼近精度,建立了更加紧致的界.给出了RSVDs的秩-k逼近的更加紧致的界.这些结果显著改进了现有的结果,对随机化算法求解不适定问题的有效性提供了强有力的理论支撑.证明了随着正则化参数的增加,内部最小二乘问题的条件数单调下降.详细分析了求解内部最小二乘问题的LSQR算法的停机准则的选取问题.由于MTRSVD算法对奇异值下降比较快的不适定问题有效,对奇异值下降缓慢的不适定问题效率可能不高.为了克服这个问题,我们提出了一个基于联合双对角化的算法JBDQR算法迭代求解大规模的问题.JBDQR算法以迭代步数为正则化参数,每步求解一个标准的小型最小二乘问题.我们证明这些迭代解具有过滤GSVD展开式的形式.这些结果严格表明JBDQR算法具有半收敛性.利用半收敛性,可以更加深入的探讨JBDQR算法的正则化性质.详细讨论了如何合理地利用偏差原理作为停机准则.JBDQR算法比杂交算法形式更加简单,更加易于实现,并且比后者更加可靠.JBDQR算法的瓶颈是每一个外迭代需要求解一个大规模的最小二乘问题.求解这个问题一般代价很大.为了克服基于JBDQR算法的效率低的问题,我们提出了一个新的基于Krylov子空间投影算法求解（1）问题.我们首先把矩阵A投影到一个低维Krylov子空间.然后利用LSQR算法求解由此产生的内部最小二乘问题.在每一步外迭代,我们利用LSQR算法求解内部最小二乘问题,我们证明随着k的增加,内部最小二乘问题的条件数单调下降,所以LSQR算法收敛的更快.我们证明了如何选择这个LSQR算法的停机准则.
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