Fischer Black和Myron Scholes在1973年推导出了基于无红利支付股票期权的Black-Scholes期权定价方程(B-S方程),并精确地给出了欧式期权定价的解析表达式,但对于美式期权,由于存在提前执行的可能性,所以只能找到方程近似解析解或是数值解。有限元差分方法是美式期权定价中较为常见的数值计算方法,它对离散后的方程在有限的区域进行差分。由于差分区域的不规则性,在差分区域的边界往往存在相对较大的截断误差。本文中利用美式期权和欧式期权的关系,通过适当的变量代换,简化含自由边界的抛物线偏微分方程的美式期权定价模型,使得在数值计算中进行有限差分的区域变为规则形状,消除初始条件的奇点,进而减少数值计算的截断误差。B-S方程是期权定价的基础。对于标的物支付连续红利的欧式期权,在假设标的物价格服从几何布朗运动的前提下,我们详细推导了B-S方程。基于B-S方程,我们分析了美式期权的定价问题,其本质是一个障碍问题。以美式看跌期权为例,对于任意一个到期日之前的时间,存在一个相应的标的物价格,在此价格的左侧,美式看跌期权的价值始终会等于相应的价值函数,而当标的物价格高于此价格时,期权价格会大于相应的价值函数。这个临界的标的物价格是依赖于时间的,这就导致了一个自由边界,从而使得难以找到方程的精确的解析解,寻找美式期权数值解便成为研究其解特性的主要方法。我们详细介绍了奇点分离法的主要思想,分析了它在数值计算方法中的应用。由于欧式期权可以准确得到,利用美式和欧式期权的关系,我们考虑两者之间的差而不是直接求解美式期权的价格,这样能减少相对误差。由于美式期权定价方程中的边界条不够光滑,我们通过引入适当的变量代换,使得方程的边界条件足够的光滑,进而减少数值计算的截断误差。二叉树法及投影SOR法是两种常用的美式期权定价的数值方法,通过数值实验与并这的两种数值方法进行比较,发现奇点分离法能明显改善计算精度和速度。