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本文主要研究了一类有限自动机序列的性质,并由此计算这些序列所对应的Hankel行列式,以及以这些序列为b-进展式的实数的无理指数.我们还研究了自动机序列的Hankel行列式的高维性质以及无理指数的不变性质等相关问题.具体的说,本文主要研究了两类自动机序列：正则折纸序列和Thue-Morse序列的差分序列.通过研究正则折纸序列和Thue-Morse差分序列的结构性质,我们得到了关于这两类序列的Hankel行列式之间的递推关系.利用正则折纸序列Hankel行列式的递推关系,我们解决了Coons的猜想,即证明了它的Hankel行列式序列是10周期的.并且利用非零的正则折纸序列的Hankel行列式,证明了正则折纸实数(b-进展式为正则折纸序列的实数)的无理指数为2.利用Thue-Morse差分序列的Hankel行列式的递推关系,我们证明了Thue-Morse序列的差分序列的Hankel行列式在模2的意义下是一个3维2-自动机序列.最后我们研究了无理指数的不变性质.我们证明了所有的Thue-Morse差分实数(b-进展式为Thue-Morse差分序列的实数)的无理指数都为2,所有的Fibonacci差分实数的无理指数都为在第三章,我们分别计算了正则折纸序列和Thue-Morse差分序列的Hankel行列式,并给出了Hankel行列式之间的递推关系式.利用行列式的递推关系,我们证明了Coons的猜想,即证明了正则折纸序列的Hankel行列式序列在模2后是周期的并且周期为10.在第四章,我们研究了一类自动机实数的无理指数,以及无理指数的不变性质.特别的,我们精确的给出了正则折纸实数,倍周期实数和Fibonacci实数的无理指数.最后通过无理指数的不变性质,我们给出了所有Thue-Morse和Fibonacci差分序列所对应实数的无理指数的精确值.在第五章,我们研究了递推关系式与自动机序列之间的关系,并由此深入研究了有限自动机序列Hankel行列式的高维自动机性质.我们证明了Thue-Morse差分序列的Hankel行列式在模2的意义下是一个三维2-自动机序列.