近几年来,声子晶体以及超材料等人工周期结构的研究不断取得进展。而随着拓扑学的发展,与拓扑有关的概念也逐渐被引入到周期结构的研究中。例如,量子霍尔效应,自旋霍尔效应和谷霍尔效应等。谷霍尔效应的实现仅需要打破结构的空间反演对称性,并且由于其模型设计起来相对简单,受到了许多研究人员的关注。他们发现,倘若将具有不同的谷拓扑相的结构组合在一起,在它们的接触界面处会观察到受拓扑保护的边缘态。这种特殊的拓扑输运现象具有良好的抗散射能力以及能量集中性,可以用作测量准直器,并且在结构检测、隔振降噪和定向波导等领域存在一定的应用价值。考虑到弹性波在固体系统中的传播衰减较小,构建固态的拓扑材料会更具有现实意义。然而,固态弹性声子晶体的工作频率通常都高达几百MHz,要处理低频问题,声子晶体的晶格尺寸就必须被设计得非常大,这不现实,也不经济。本文主要对局域共振弹性波超材料的波传播特性以及拓扑边缘态开展了一系列研究,基于局域共振机制,设计了具有亚波长带隙的超材料结构,当振动波的频率处于带隙范围内时,使得振动波无法在结构中传播,进而有效地处理低频振动问题,打破了结构的设计局限。此外,本工作还构建了具有不同拓扑体系的局域共振超材料,通过理论公式以及数值仿真,证实了接触界面处低频拓扑边缘态的存在。具体地,本研究的第二章发展了基于Bloch原理的有限元分析,为分析弹性波超材料的能带问题提供了理论支撑;第三章设计了一个可以同时具有负等效质量和负等效模量的平动共振超材料,基于亚波长带隙的存在,可以将其用作低频隔振降噪材料。此外,通过改变模型的材料参数,本章构建了具有不同拓扑体系的超材料结构,利用有限元仿真在它们的接触界面处观察到了一维拓扑界面态。研究表明,这种受拓扑保护的界面态具有能量集中性以及鲁棒性;第四章利用Comsol有限元平台构建了一种具有₃对称性的弹性波超材料薄板。该薄板具有二维周期性,且由泡沫橡胶和铅组成。基于软材料的局域共振特点,模型的能带结构在布里渊区的边界角点和^′处存在低频的狄拉克锥。通过打破模型的空间反演对称性,本工作获得了具有不同谷拓扑相的固态拓扑材料,并且在它们的接触界面处实现了拓扑边缘态。这种拓扑边缘态具有优秀的抗散射特性,即使在传播路径上存在转角,无序或者缺陷,也能使得弹性波从结构的一端顺利传播到另一端。综上所述,本研究可以为设计新型隔振降噪材料和制定新型结构检测方案提供新的思路。