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波动方程是最重要，最早，和研究最多的一类偏微分方程，主要是应用泛函分析的知识来研究波动方程解的稳定性的问题.但由于原先线性波动方程的解法无法应用到变系数波动方程，其已经成为偏微分方程的一个重要课题，很多数学家在这方面进行研究并获得了很多成果.本文的主要工作是应用黎曼几何的方法分析记忆型边界反馈下变系数波动方程解的指数稳定性. 本文的组织结构是:首先在引言中介绍了Riemannian几何的一些基本概念及其与波动方程有关的一些等式关系为下面证明中的应用做好准备，其次讨论了有记忆型边界的耦合半线性系统:{u"(x,t)+(A)u(x,t)+n∑i=1(6)θ/(6)xi(x,t)+F(u(x,t))=0在Ω×(0,∞)上，θ(x,t)+(A)θ(x,t)+n∑i=1(6)u/(6)xi(x,t)=0在Ω×(0,∞)上，u(x,t)=0,θ(x,t)=0在Γ0×(0,∞)上,(1)(6)u/(6)vA(x,t)+βθ(x,t)=0在Γ1×(0,∞)上，(6)θ/(6)vA(x,t)+βθ(x,t)=0在Γ1×(0,∞)上,u(x,0)=u0(x),u(x,0)=u1(x),θ(x,0)=θ0(x)在Ω上,解的指数稳定性，即应用Riemannian几何的方法证明系统弱解的能量是指数衰减的.最后又应用相同的方法讨论了有记忆型边界的变系数波动方程:{utt(x,t)+(A)u(x,t)+f(u)=0在Ω×(0,∞)上,u(x,t)=0,在Γ0×(0,∞)上,u(x,t)=-∫t0g(t-s)(6)u/(6)v(A)(s)ds在Γ1×(0,∞)上,u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x)在Ω上，解的指数稳定性.