设S?Rd（d≥2）.若对于任意m个互异的点x1,x2,…,xm∈S,至少有一条由它们确定的闭直线段含于S中,则称S为m-凸集,或称S具有性质Pm.若对于S中的任意一个等腰三元组x,y,z,至少有一条（两条）由它们确定的闭直线段在S中,则称S具有单（双）等腰三点性质.若对于S中的任意一个直角三元组x,y,z,至少有一条（两条）由它们确定的闭直线段在S中,则称S具有单（双）直角三点性质.论文第一章介绍了论文的研究背景,对论文的研究内容和主要结果进行了简要介绍,并给出了与本篇论文相关的一些基本概念和记法.论文第二章首先研究了m-凸集的几何性质与拓扑性质,对m-凸集进行了刻画,并且给出了简单曲线为m-凸集的一个充要条件;其次刻画了阿基米德铺砌（36）,（44）,（3,6,3,6）的子集为3-凸集的充要条件;最后对星形集的概念进行了推广,提出m-凸星形集的概念,并对3-凸星形集进行了刻画.论文第二章刻画了具有等腰二点性质的集合,得到了平面上非凸集具有双等腰二点性质的一个充要条件,并讨论了满足某种特定条件的具有单等腰三点性质的集合的特征.论文第四章对双等腰三点性质的概念进行了推广,引入了双直角三点性质的概念,给出了Rd中具有双直角三点性质的开集S的一个充要条件以及平面上非凸集具有双直角三点性质的一个充要条件,并刻画了满足某种条件的单直角三点性质.