稀疏表示（或稀疏成分分析，稀疏编码）近年来引起广泛的关注，在图像处理，盲信号分离，压缩感知和模式识别等领域都有着广泛的应用。实际上，由于其重要的理论价值和广泛的应用前景，稀疏表示一直是信号处理领域最热门的研究方向之一。在标准稀疏模型中，一个向量称为稀疏的，若其只含有少量非零元，且非零元的位置是任意的。近两年来，具有某种额外结构的稀疏信号逐渐引起人们的关注，常见的稀疏结构如分块稀疏，树稀疏，图稀疏等。结构化稀疏存在于各个应用领域，如多频带通讯，结构化压缩感知，图像处理，图像背景提取等。在所有这些稀疏结构中，最简单也是最重要的一种稀疏结构是分块稀疏，即信号中非零元成块出现。目前已取得的理论成果和算法大多数是基于分块稀疏的。本论文也针对分块稀疏表示问题展开研究，主要贡献如下：1.对利用凸松弛方法从欠定线性系统中恢复分块稀疏信号的可恢复性能进行了分析。在已有的工作中，得到了一些与字典相关的精确但“悲观”的可恢复性结论。本文指出，当字典给定的时候，分块稀疏信号的可恢复性能与分块结构相关，并由此得到了几个概率不等式，这些不等式表明了可恢复性与分块长度，非零块数目，给定测量信号的长度和分块稀疏信号的长度相关。同样，本文还证明了分块稀疏结构比一般稀疏结构有更好的可恢复性。数值实验也证明了本文所给出的理论结果。2.给出了一种求解分块稀疏重构问题的分块不动点延拓算法。求解分块稀疏重构的凸松弛方法由于其目标函数中包含混合范数，因此难于求解。尽管2/1规划算法可以将其转化为一个二阶锥优化问题，然后利用标准软件包进行求解，但该方法由于需要计算目标函数的Hessian矩阵，计算复杂度高，不适合求解大规模问题。本文将不动点迭代算法和块坐标下降算法相结合，提出了一种求解分块稀疏重构无约束优化问题的分块不动点迭代算法。该算法仅包含矩阵-向量相乘运算，计算复杂度低，适合求解大规模问题。数值实验表明该算法具有良好的重构精度和鲁棒性。3.给出了求解分块稀疏重构问题，包括约束优化形式和无约束优化形式的分割Bregman迭代算法。分块不动点延拓算法和目前已有的一些分块稀疏重构算法都用来求解无约束优化问题，无约束优化问题中，罚参数的选取是一个关键，但是往往难以自适应选择。Bregman算法，源自于Bregman距离，可以固定罚参数，通过“噪声回加”技术来求解该问题。而分割技术可以通过“解耦”不同范数间的变量来简化问题。本文证明了所给出算法的收敛性。数值实验也表明本文所给的算法具有良好的计算速度和鲁棒性。4.给出了多重测量向量问题的求解算法。在多重测量向量中，所有的向量都假定是联合稀疏的，即所有的非零元都出现在相同的行中。多重测量向量问题可以看做是分块长度相等的一种特殊的分块稀疏重构问题。本文将利用分块不动点延拓算法和分割Bregman迭代算法来求解多重测量向量问题。而且将核磁共振图像重构看作是多重测量向量问题，然后利用本文提出的算法进行求解。数值实验表明本文所提出的算法对实际数据也具有良好的效果。