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矩阵(算子)不等式是矩阵理论中极为重要的一个研究方向,近几十年来,矩阵(算子)不等式在生物数学、经济学、控制理论、计算机图像处理及概率统计等领域都发挥着重要的作用。实际上,矩阵(算子)不等式这个研究方向本身也有很多公开问题,例如Zhan猜想,Bhatia-Kittaneh猜想,Brualdi-Li猜想,Lin猜想,S-matrix猜想等,故对矩阵(算子)不等式的研究是有重要意义的。本论文主要对算子偏序、特殊矩阵的行列式、矩阵酉不变范数以及共轭特征值这几个问题进行研究。本文的主要工作如下:1.利用Ando-Zhan不等式[Math.Ann.1999]以及矩阵(算子)算术-几何平均值不等式[Linear Algebra Appl.2000],得到了p(p?2)次幂的算子Kantorovich和Wielandt不等式以及逆向算子算术-几何平均值不等式,所获不等式推广了Lin[J.Math.Anal.Appl.2013;Studia Math.2013]以及Bhatia和Davis[Comm.Math.Phys.2000]的结果。2.结合分块正定矩阵Schur补的性质以及矩阵的行列式不等式的放缩技巧,对Accretive-dissipative矩阵的Fischer-type行列式不等式进行研究,改进了Lin[Linear Algebra Appl.2013]所得到的结果。3.研究了特殊矩阵的Hadamard积和Fan积的行列式不等式。首先给出一个M-矩阵与有限多个逆M-矩阵的Hadamard积的行列式不等式,推广Chen[Linear Algebra Appl.2007]的结果;其次,我们证明了有限多个正定矩阵的Hadamard积的行列式不等式,该不等式是Chen[Linear Algebra Appl.2003]结果的一个推广;再之,将两个H-矩阵的Hadamard积的行列式不等式推广到有限多个的情形,从而改进了Lynn[Proc.Cambridge Philos.1964]的结果;最后,证明了有限个M-矩阵的Fan积的行列式不等式,推广了Ando[Linear Multilinear Algebra.1980]的结果。4.讨论了矩阵酉不变范数的算术-几何平均值不等式,改进了Bhatia和Kittaneh[Linear Algebra Appl.2000]得到的一个结果。同时,我们也研究了矩阵Heinz不等式,改进了Zhan[SIAM J.Matrix Anal.Appl.1998]得到的结果。5.建立了一些共轭特征值和奇异值之间关系的不等式。它们是经典的特征值和奇异值之间关系的拓展。