最近几年发现的一类新的量子物理状态，拓扑绝缘体是量子霍尔效应在时间反演对称情况下的同类。其特点是体态具有绝缘体的带隙，而边缘或表面具有自旋分辨的金属态，自旋相反的电子运动方向相反。由于时间反演对称的保护，边缘态在(k)空间中的时间反演不变点出现简并态，并表现为狄拉克点，并且构成狄拉克点的能带位于体态带隙之间。这种特性使得拓扑绝缘体在自旋电子学和量子计算机等方面的应用具有诱人的前景。与绝缘体材料一样，金属也可以按照能带拓扑理论分为一般金属和拓扑金属。与普通金属态不同，处于拓扑非平庸态的狄拉克半金属和Weyl半金属含有三维狄拉克锥，费米面完全由分立的费米点所组成。　　能带拓扑的概念提出以后，找到具有拓扑非平庸态的材料是一个非常必要的工作，这样对拓扑理论的实现及其应用就可以基于真实的材料，无论是对理论的发展还是在现实生活的应用都必不可少。本论文以拓扑能带理论为出发点，结合密度泛函理论(DFT)、紧束缚近似(Tight Binding)和(k)·(p)近似探索发现了三类新型拓扑材料（包括拓扑绝缘体、拓扑晶体绝缘体和拓扑狄拉克半金属）。本文的主要工作如下:　　(1)反钙钛矿结构的M3BiN(M=Ca和Sr)在自旋轨道耦合效应与a-b面内应力的作用下实现由普通绝缘体到拓扑绝缘体的转变。该材料在应力的作用下，其Bi-s和Bi-pz态在Γ点（即时间反演不变点）发生能带反转。由于Bi-s和Bi-pz轨道具有相反的宇称，并且体系具有反演对称性，所以此能带反转伴随着拓扑相位的变化。通过薄膜计算了其表面电子结构，当沿着[001]方向的薄膜厚度达到15个元胞时，在(Γ)点出现单独的狄拉克点。　　(2)通过标准的DFT计算，发现Zintl类型Sr2Pb绝缘体化合物在Γ点具有拓扑非平庸的带隙，它是通过Pb-s和Pb-p能带反转实现的。重要的是，其能带反转与其关联效应密切相关。利用强关联效应的屏蔽杂化势密度泛函计算表明，在基态此拓扑性并不存在，但在应力和自旋轨道耦合效应的作用下Sr2Pb可实现由普通绝缘体到拓扑绝缘体的转变。另外，计算表明当沿[010]方向的薄膜厚度达到100个单胞时，(Γ)点的带隙消失，伴随狄拉克点出现。　　(3)结合DFT和紧束缚近似模型哈密顿量的对Na3Bi、K3Bi和Rb3Bi进行了分析，结果表明其同时具有拓扑反转的体能带结构和在费米能级存在三维狄拉克锥，且该狄拉克点受三重旋转对称保护，称为三维拓扑狄拉克半金属材料。沿[0001]方向，其表面态和体态能带无法分辨，其原因是体态三维狄拉克锥出现在Γ-A方向，而Γ-A正好投影到二维(Γ)点。沿[0110]方向，由于Γ-A平行的投影到二维(Γ)-(Z)线，体态在此方向的能量色散关系就可体现出来，因此在(01(1)0)面其体态能带和表面态可以分辨。由于在[01(1)0]面取开放性边界条件会同时破坏掉晶体沿c轴方向的三重旋转对称性，而三维狄拉克锥正是受此晶体对称性所保护，因此只有当薄膜足够厚时三维狄拉克锥才会表现出来。　　(4)岩盐结构的SnSe和SnS为受镜面对称保护的拓扑晶体绝缘体材料。虽然，该材料在L点具有拓扑反转的能带，但其布里渊区的八个时间反演不变点中内存在四个等价的L点，因此它的能带反转不会引发Z2拓扑相位的变化。然而，由于镜面对称的存在，能带反转前后对应不同的拓扑不变量（即镜面陈数）。通过计算Berry曲率和Berry相位发现SnSe和SnS具有非零的镜面陈数-2，因此它们处于拓扑非平庸态。与Z2拓扑绝缘体不同，由于镜面陈数为偶数，在与镜面垂直的表面上存在偶数个狄拉克点。在{100}和{110}面上，由于存在两个L点的耦合作用，狄拉克点偏离L的投影点(X)，处于(L)-(X)的连线上。在{111}方向，由于L点投影到二维布里渊区的不同点，因此狄拉克点处于高对称的(M)和(Γ)点。　　(5)通过(k)·(p)近似为基础的有效模型哈密顿量，建立了以拓扑绝缘体和普通绝缘体组成的超晶格和异质结的理论模型。得到超晶格狄拉克点以及该点在实空间的分布取决于普通绝缘体和拓扑绝缘体之间的能带匹配情况。当拓扑绝缘体的表面狄拉克点位于普通绝缘体的能隙内时，普通绝缘体相当于一个量子势垒，超晶格狄拉克点总是可以通过调节普通绝缘体的厚度和带隙大小来实现。相反，如果拓扑绝缘体的表面狄拉克点沉入普通绝缘体的价带或导带时，普通绝缘体相当于一个量子阱，被普通绝缘体分开的两个狄拉克点会移动到普通绝缘体并发生耦合作用而消失。这就解答了为什么在普通绝缘体和拓扑绝缘体组成的超晶格中有时会出现狄拉克点而有时候又不出现的情况。同理，对以普通绝缘体和拓扑绝缘体组成的异质结，当拓扑绝缘体的表面狄拉克点位于普通绝缘体的能隙内时，狄拉克点的信号封在拓扑绝缘体界面部分，而拓扑绝缘体的表面狄拉克点沉入普通绝缘体时，狄拉克点信号会以平面波的形式传输到普通绝缘体。我们的模型结果与第一原理计算结果一致。