【摘 要】
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Moore-Penrose逆(简称MP逆)和Drazin逆是广义逆理论中的两个最基本的概念.人们围绕广义逆的理论及其应用展开了广泛的研究.在此过程中提出了很多新的概念,包括群逆、核逆、DM
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Moore-Penrose逆(简称MP逆)和Drazin逆是广义逆理论中的两个最基本的概念.人们围绕广义逆的理论及其应用展开了广泛的研究.在此过程中提出了很多新的概念,包括群逆、核逆、DMP逆等,也提出了一些新的方法.例如,有些学者将广义逆和偏序结合起来得到了丰富的成果.但这些理论主要还是建立在复矩阵、C*-代数以及算子代数之上的.近年来,人们开始尝试将这些理论进一步推广到一般的环上.在这方面,还有很多问题有待进一步研究,而且原有的一些基于矩阵分解、秩以及范数的技巧和方法都不能应用到一般的环上.本文主要采用环论中的方法,在带有对合*的环R上对广义逆和偏序展开研究,包括以下三个方面：第一、考虑环R上广义对合元的等价刻画和线性组合.我们在环R中定义了k阶广义对合元的概念(a称为k阶广义对合元是指存在正整数k满足ak=at),推广了广义对合矩阵和超广义投影元的概念.首先利用MP逆和群逆给出环R中k阶广义对合元的等价刻画.然后应用到复数域上的代数中,给出了两个广义对合元的线性组合仍为广义对合元的充要条件,推广了X.J.Liu等人在复矩阵环中的一些结果.第二、在环R上考虑核逆、核偏序及DMP逆.我们先从核逆以及核偏序的等价刻画和相关性质两方面把复矩阵上的有关结果推广到环R上.然后进一步研究环R中元素的DMP逆的性质及其等价刻画,另外还探讨了DMP逆与(b,c)-逆的关系.这些工作推广了S.B.Malik等人的有关结果.第三、考虑偏序与A中线性组合的可逆性,其中A为任意域F上的代数.我们得到了A中两个元素a,b分别满足*-正交或某些偏序条件下,其线性组合c1a+c2b或c1an+c2bn可逆的等价刻画,同时还给出了其逆的较为简洁的表达式,在一定程度上推广了M.Tosic等人关于复矩阵的相应结果.
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