分数阶微积分（Fractional Calculus）是一个古老而又新颖的研究领域.谓之古老,是因为分数阶导数和积分这一思想的产生,可以追溯到十七世纪末,也就是说,它与经典的微积分几乎同步诞生;谓之新颖,是因为在分数阶微积分的思想产生之后的近三个多世纪里,有关这一方面的研究,基本上是在纯数学的范畴内进行的,虽然有诸如 Euler（1730）,Laplace（1812）,Fourier（1822）,Liouville（1842）,Riemann（1876）,Riesz（1949）等世界著名数学家先后涉足,但也仅仅是数学家们感兴趣的课题.因为其并不统一的多种定义形式,加之没有发现其实际的应用背景和相关的几何与物理解释,发展十分缓慢.然而,在过去的四十多年的时间里,大量的研究和实验表明,分数阶微积分非常适合于描述具有“记忆”（Memory）和“遗传”（Hereditary）性质的各种物质和过程的特性,而这也正是其相对于经典微积分所具有的主要优势.随着分数阶微积分在科学和工程的众多领域得到应用,分数阶微分方程模型大量出现,这一领域的研究逐步在国内外引起理论和应用研究者的广泛注意.本文旨在探讨分数阶微分系统的稳定性及其应用.全文共分为七章,谨将具体的内容和研究结果概述如下:在第一章中,简要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的发展历史,概述分数阶微分系统的理论进展,及其在控制、粘弹性力学等领域的应用研究现状.之后着重阐述了分数阶微分系统稳定性的现有研究成果.最后引入本文所需要的一些分数阶微积分的定义.在第二章中,讨论了一类非线性分数阶微分方程初值问题的解在半轴上的全局存在性.解的全局存在性问题不仅在微分方程的基本理论中是非常基础的,同时在稳定性理论中也扮演着至关重要的角色.我们引入了一个特殊的Banach空间,并建立了无穷区间上的紧致性定理,运用Leray-Schauder选择定理,得到了保证这类初值问题解的全局存在的一些充分条件.在更一般的情况下,得到了若干进一步的结论,并通过举例来说明所得结果的有效性.在第三章中,讨论了一类线性分数阶脉冲混合系统的实用稳定性.通过构造脉冲混合及转换控制器,阐述了所研究模型的由来;借助于矩阵型Mittag-Leffler函数,给出了一类分数阶微分方程初值问题解的表达式;最后建立了使分数阶脉冲混合系统实用稳定的充分条件,并通过例证来说明所获结果的应用价值.在第四章中,首先运用一阶线性近似的方法,讨论了分数阶微分系统的稳定性,得到了使系统渐近稳定的充分条件.其次将分数阶微分算子引入HIV-1感染模型中,该模型有三个平衡点:平凡平衡点、健康平衡点和受感染平衡点.本章讨论了健康平衡点和受感染平衡点的渐近稳定性,通过给出大量数值模拟来说明分析结果的有效性.在第五章中,讨论了一类时滞分数阶HIV感染模型的稳定性,其中时滞表示的是从健康细胞和病毒结合到能释放出病毒之间的时间延迟.该模型有两个正平衡点:未感染平衡点和受感染平衡点.本章首先讨论了未感染平衡点的渐近稳定性,并指出了他人研究结果中的不当之处.随后讨论了受感染平衡点的渐近稳定性,得到了在一定条件下,无论延迟多大,受感染平衡点都是渐近稳定的结论.在第六章中,提出了一个分数阶时滞HIV-1感染模型.该模型有两个平衡点:病毒游离平衡点和受感染平衡点.首先讨论了病毒游离平衡点的稳定性,得到了使其渐近稳定的一个充分条件.之后讨论了受感染平衡点的稳定性,通过研究系统对应的特征方程,得到了保证其渐近稳定的充分条件.最后通过仿真说明了,在满足定理条件的情况下,对于任意的正时滞,受感染平衡点都是渐近稳定的结论.第七章对全文内容作了总结,并提出进一步研究的内容和方向.