【摘 要】
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众所周知,非线性现象存在于很多学科领域,如物理,力学,化学,生物和工程技术,这些非线性现象大多可以用非线性微分方程来刻画并阐述其产生机制,而非线性微分方程的解析解能够帮助物理学家和工程技术人员研究波的传播规律,为检验数值解的精确度提供准确的数据,因此一直以来都是本领域的研究热题.本文以ˉ-穿衣法和Riemann-Hilbert方法为主要工具,研究了几类非线性Schr¨odinger方程的孤立波解及
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众所周知,非线性现象存在于很多学科领域,如物理,力学,化学,生物和工程技术,这些非线性现象大多可以用非线性微分方程来刻画并阐述其产生机制,而非线性微分方程的解析解能够帮助物理学家和工程技术人员研究波的传播规律,为检验数值解的精确度提供准确的数据,因此一直以来都是本领域的研究热题.本文以ˉ-穿衣法和Riemann-Hilbert方法为主要工具,研究了几类非线性Schr¨odinger方程的孤立波解及其解的相互作用,得到了一些新的,有趣的结果.此外,基于解的图像分析,我们揭示了此类非线性Schr¨odinger方程的一些有趣的动力学行为.本文在第一章,主要给出了非线性科学和孤立子相关理论的发展进程,以及随之发展而来的一些求解方法,并给出了ˉ-穿衣法和Riemann-Hilbert方法的发展进程及其在可积系统中的研究现状.最后概括了主要研究内容与意义.在第二章,通过发展现有的ˉ-穿衣方法研究了三分量耦合Sasa-Satsuma系统的多孤子解.首先,基于一个7×7阶的矩阵谱问题,我们成功构造了一个ˉ-问题;然后基于Cauchy-Green积分算子的相关性质,我们导出了此系统的高阶Lax对;最后由势函数导出了一个波函数的对称关系,进而获得了此三分量耦合Sasa-Satsuma系统在简单极点情况下的多孤子解.在第三章,通过发展Riemann-Hilbert方法,我们研究了带有负相干耦合Hirota系统的孤子解.通过对Hirota方程的Lax对进行谱分析,并研究了谱问题的对称性和时空散射数据的演化,我们成功的将原问题转化为RiemannHilbert（RH）问题.通过求解无反射势情况下的RH问题,我们导出了该方程的多孤子解.此外,基于对单孤子解,双孤子解和三孤子解的图像分析,我们揭示了此方程孤子解的局域结构和动力学行为,丰富了非线性薛定谔方程的非线性动力学.在第四章,通过发展Riemann-Hilbert方法,我们研究了Cauchy边值条件下,具有任意阶极点的一类广义非线性Schr¨odinger方程.通过谱分析,得到了原方程的Jost函数的解析性,对称性和渐近性.利用这些性质,建立了相应的RH问题.通过求解RH问题,成功地导出了在无反射势情况的解析解.最后,我们进一步得到了具有不同阶极点的孤子解,包括四阶极点,两个二阶极点,一个三阶极点和一阶极点,以及四个一阶极点.然后我们选择适当的参数,通过图形分析对这些解的动力学行为进行了分析.最后我们对全文的研究内容进行了简单的概括总结,以及给出了对进一步工作的展望.
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