随着对算子理论的深入研究(有关线性算子理论的书籍,可参考[1,21,34,37,39,43,47,52,56,60,77,81,82]),发现了越来越多的多值算子和非稠定算子.例如,在不满足确定性条件下,连续线性Hamilton系统生成的算子和一般的离散线性Hamilton系统生成的算子在相应的Hilbert空间中都可能是多值的或者是非稠定的[49,58,59,70].因此,经典的算子理论对其不再适用.为了研究这一类算子和进一步完善算子理论,我们需要建立多值算子理论和非稠定Hermite算子理论.单值和多值线性算子统称为线性关系或者乘积空间中的线性子空间,简称关系或者子空间.本文研究了线性关系的若干谱扰动问题,包括Banach空间中闭线性关系的谱在若干扰动下的变化;自伴线性关系的本质谱在相对紧扰动下的稳定性;自伴线性关系的绝对连续谱在迹类扰动下的稳定性.本文首先研究了 Banach空间中闭线性关系的谱在某些扰动下的稳定性.在1966年,Kato证明了 Banach空间中闭线性算子的谱是上半连续的.这说明当算子连续变化时,其谱不会突然扩增,但是却可能出现锐减的情形[47].更多地,他分别给出了 Banach空间中闭线性算子的谱和Hilbert空间中自伴线性算子的谱在有界扰动下的误差估计.那么,我们思考对于多值线性算子的情形,这些结论是否成立?受Kato研究工作的启发,在本文中,我们引入了闭线性关系谱的上半连续性的概念,讨论了闭线性关系的谱在某些扰动下的变化.作为特殊情形,我们讨论了自伴线性关系谱的扰动.本文接下来研究了自伴线性关系的本质谱在相对紧扰动下的稳定性.目前对于线性关系的本质谱有多种定义方式.最常见的定义方式有两种:一是基于线性关系的半-Fredholm性质给出的不同定义[28,83];二是由谱的聚点或具有无限重数的孤立特征值构成的集合给出的定义方式[69].关于线性关系本质谱的扰动问题,有很多学者作了研究.在1998年,Cross引入了线性关系相对有界和相对紧的概念,并证明了在一定条件下的相对紧扰动下,线性关系的某种本质谱是稳定的[28].在2014年,基于线性关系的半-Fredholm性质,Wicox给出了 Banach空间中线性关系本质谱的五种不同的定义,并证明了它们在紧扰动下或者一定条件的相对紧扰动下是稳定的[83].在2016年,Shi证明了在一定条件下的相对紧扰动下,自伴线性关系以第二种方式定义的本质谱是不变的[66].受Weidmann研究方法的启发[81],我们讨论自伴线性关系以第二种方式定义的本质谱在相对紧扰动或者更一般扰动下的稳定性.据我们所知,目前有关自伴线性关系绝对连续谱的扰动结果还比较少.但是关于自伴线性算子绝对连续谱的扰动有很多学者作了研究,并得到一些很好的结果[47,81].其中一个经典的结果是:自伴线性算子的绝对连续谱在迹类扰动下是稳定的[47].那么,我们能否将这一结果推广到自伴线性关系情形当中去呢?这就是我们本文最后所要研究的问题.在1961年,Arens证明了 Hilbert空间中的每一个闭线性关系r都可以分解成一个算子部分T_s和一个纯多值部分T_∞[11].在1985年,Dijksma和他的合作者证明了若Hilbert空间中的线性关系T是自伴的,则它的算子部分rs在相应的Hilbert空间T(0)~⊥中也是自伴的[32].后来,Shi和她的合作者研究了自伴线性关系谱的性质,证明了自伴线性关系的绝对连续谱和它算子部分的绝对连续谱是相同的[69].应用这些结果,我们给出迹类线性关系的定义,并且分别讨论了闭线性关系的扰动和它的算子部分相应扰动之间的关系,以及闭线性关系扰动后的谱和它的算子部分相应扰动后的谱之间的关系.进而讨论自伴线性关系的绝对连续谱在迹类扰动下的稳定性.本文的具体安排如下:本文分为五章.第一章是预备知识.介绍线性关系的一些基本概念和理论,线性关系的谱和谱的分类以及线性关系的几种扰动.其中包括小间隙(gap)扰动,相对有界扰动,相对紧扰动,退化扰动和迹类扰动.第二章主要考虑Banach空间中闭线性关系的谱在某些扰动下的稳定性.首先,给出了 Banach空间中两个线性关系可交换的概念.然后,证明了闭线性关系的逆为有界线性算子这一性质在相对有界扰动,小间隙(gap)扰动和谱条件扰动下是不变的.并且,证明了闭线性关系的谱是上半连续的,并给出了在有界扰动下,其谱的误差估计.最后,我们讨论了在相对有界和小间隙扰动下,自伴线性关系的自伴性稳定性问题以及在有界扰动下其谱的变化.第三章讨论Hilbert空间中自伴线性关系本质谱在相对紧扰动下的稳定性.首先,我们建立了线性关系相对有界和相对紧之间的关系,并给出了它们的一些充分必要条件.然后,证明了自伴线性关系的本质谱在相对紧扰动或者在更一般的扰动下是不变的.这些结果推广了自伴线性算子的相应结果,并且某些结果减弱了相应已有结果的条件.第四章讨论Hilbert空间中自伴线性关系的绝对连续谱在迹类扰动下的稳定性.首先,我们引入一个由两个线性关系T和A诱导的线性算子A_T,并讨论其性质.这个算子在本章的研究中起着至关重要的作用.假设T是闭的,我们讨论线性关系T + A和算子T_s + A_T的性质之间的关系.其中包括闭性,Hermite性,自伴性和谱的性质.更进一步的,讨论闭线性关系T的扰动和算子部分T_s的相应扰动之间的关系.应用这些结果,我们研究自伴线性关系的绝对连续谱在迹类扰动下的稳定性问题.第五章是总结.主要介绍我们得到的主要结果,这些结果的意义,以及对未来研究工作的展望.