有限域及其扩域的算术运算，是许多差错控制系统的重要模块。例如，具有强大纠错能力的Reed-Solomon码就是建立在有限域上的运算来完成编码、解码的功能。有限域的乘法运算效率对于多种密码应用起着至关重要的作用，这是一个值得研究并已被广泛研究的课题。本文主要研究有限扩域的乘法及其快速实现。　　 有限域的乘法是有限域运算中最重要的一种运算，也是极其复杂和耗费时间的运算，而求逆、除法、求幂运算都可以转化为乘法运算。所以，提高有限域的乘法的运算效率对于整个密码方案的实现具有重要的作用。　　 经典的Karatsuba算法是研究在一般形式上的乘法运算，与传统的多项式乘法相比，所需乘法次数明显减少。Montgomery利用中国剩余定理(CRT)并结合Winograd短卷积算法讨论了在GF(2n)上的多项式乘法，此算法比Karatsuba算法又有比较大的效率改进。本文讨论在扩域GF(Pn)上的快速乘法算法，通过分析快速模约简算法、求逆算法、中国剩余定理(CRT)、多项式乘法等算法后，结合Winograd短卷积算法，讨论模多项式m(x)=(∏t i=o)mi(x)的因子项mi(x)的选择对于有限扩域GF(Pn)乘法的乘法次数和加法或减法次数的影响，从而得出关于模多项式m(x)的最优选择问题，进而比较此种算法与传统多项式算法的效率差异。简而言之，从理论上分析模多项式取法对于扩域乘法效率的影响，再通过编程实现比较其与传统多项式乘法算法的效率差异，进而验证理论分析的结果。