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科学与工程问题中的大量数学模型都归结于求解域是旋转体的微分方程边值问题。这类问题称为轴对称问题,是目前研究的热点。本文旨在通过边界元方法把这类问题转化为轴对称的边界积分方程,利用机械求积法系统讨论了轴对称弹性静力学边界积分方程、轴对称达西边界积分方程、轴对称非线性Laplace边界积分方程和轴对称泊松边界积分方程的数值解法,取得的成果如下:1、研究了轴对称弹性静力学方程带Dirichlet边值条件的数值解法。通过单层位势理论,利用轴对称弹性静力学方程的基本解,把弹性静力学方程转化为带有对数弱奇异核的第一类边界积分方程。由于轴对称问题的边界大部分是非光滑的,所以边界积分方程的解在角点处具有奇异性,利用三角周期变换消除了解在角点处的奇性。利用Lyness和Sidi的弱奇异求积公式,结和中矩形数值积分公式,构造了求解具有弱奇异核的第一类边界积分方程的机械求积法。利用Anselone的聚紧收敛理论证明了数值解的存在性和收敛性,还证明了数值解的误差具有(?38)(6)的收敛阶。2、研究了轴对称达西方程带Dirichlet边值条件的数值解法。利用单层位势理论及空间坐标变换,将轴对称达西方程转化为第一类的带有对数弱奇异核的边界积分方程。为了提高数值解的精度,利用三角周期变换消除边界积分方程的解在角点处的奇性。利用机械求积法求解第一类的弱奇异的边界积分方程,得到解的误差具有奇数阶的多参数渐近展开式,其给出了数值解的精度为(?38)(6)。利用分裂外推算法消去误差展开式中的低阶项得到高阶项,提高数值解的收敛阶。聚紧理论证明了机械求积法的收敛性。3、研究了轴对称非线性Laplace方程的数值解法。利用直接边界积分方程法和轴对称Laplace方程的基本解,将具有非线性边值条件的轴对称Laplace方程转化为轴对称的非线性边界积分方程,该积分方程具有弱奇异核。利用机械求积法和牛顿迭代法求解非线性的边界积分方程,得到数值解的误差具有奇数阶的单参数渐近展开式,其给出了数值解的精度为(?3)。利用外推算法提高数值解的收敛精度阶为(?5)。利用Stepleman定理证明了非线性近似方程解的存在性和稳定性。4、研究了轴对称泊松方程带Dirichlet边值条件的数值解法。利用轴对称泊松方程的特解,轴对称泊松方程可以导出轴对称Laplace方程,利用单层位势理论,将导出方程转化为第一类的带有对数弱奇异核的边界积分方程。利用三角变换消除解在角点处的奇性,利用机械求积法离散边界积分方程,得到数值解的误差具有奇数阶的多参数渐近展开式,其给出了数值解的精度为(?38)(6)。通过分裂外推算法消去展开式中的低阶项得到高阶项提高数值解的精度为(?58)(6)。多个数值算例验证了我们的理论分析。