近二十年来,作为目前最为流行的随机不确定性量化方法之一,多项式混沌展开方法（亦称为增广Wiener混沌展开方法或者随机正交展开方法）已经受到越来越多的关注。国内外学者在这方面的兴趣,特别是对求解随机（偏）微分方程的兴趣也在持续增长。本摘要首先介绍了多项式混沌展开方法,综述了问题的历史与现状（第一节,正文第一章）,第二节（正文第二章）考虑了一个带随机扩散系数的扩散方程,改进了文献中对多项式混沌展开方法的估计,得到了较为满意的结果。第三节（正文第三章）研究了一个带有随机速度的对流模型,采用谱分离的思想[56],有效控制了随机方向的误差增长。数值结果验证了理论分析结果的正确性。第四节（正文第四章）考察了一个简单的带单变量随机系数（均匀分布）的衰减模型,分析了多项式混沌展开方法的长时间行为及其原因。第五节（正文第五章）比较了两个不同随机系数的随机对流模型,一是白噪声的随机系数,另一个是二阶随机过程的随机系数。结果显示两者不可以看作彼此的近似模型。第六节（正文第六章）使用权理论分析了非线性模型简化方法（方差分析方法）在各种模意义下的最优逼近性质。数值结果显示,在随机问题中最为重要的均值和方差意义下,标准方差分析模型具有最优逼近的能力。本文的主要工作在于以下几个方面。首先,对随机常微分方程的多项式混沌展开方法及其长时间积分问题,我们提供了严格的数值分析,弥补了以往仅研究随机正交投影逼近能力的不足,研究了多项式混沌展开解的数值行为,为进一步理解和解决该问题提供了不同的视角。其次,对带有随机速度的对流模型,采用谱分离的思想,有效控制了随机方向的误差增长,提供了较可靠的理论误差估计。提供了谱分离格式的数值结果,详细研究了各离散参数对弱均方意义下误差的影响。值得指出,该方法也可推广到部分带白噪声的非线性随机微分方程。同时,比较研究了白噪声速度的对流模型和二阶过程随机速度的对流模型的可近似性。再次,对混沌展开方法求解带随机扩散系数的扩散方程,提供了更为精确的误差估计,较好地揭示了随机方向、时空方向各离散参数之间的关系。最后,使用权理论分析了截断方差分析模型在各种模意义下的最优逼近性质,为随机微分方程的求解提供了更多的理论支持。