【摘 要】
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20世纪,关于有限单群的分类已经完成,这次分类是代数学上的一个伟大成就,随着时间的推移接下来该对无限群进行讨论。从有限到无限,有限生成是一个中间桥梁,本文讨论二元生成群。根据已有定理:有限生成自由群上的自同构群的本原元是幂单的,因此便有推测由二元生成的自由群,如果本原元幂单则群是幂单群（可解群）。但有一反例指出由二元生成的自由群是完全群即本原元幂单但不可解。因此,我们需要对二元生成自由群的生成元的
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20世纪,关于有限单群的分类已经完成,这次分类是代数学上的一个伟大成就,随着时间的推移接下来该对无限群进行讨论。从有限到无限,有限生成是一个中间桥梁,本文讨论二元生成群。根据已有定理:有限生成自由群上的自同构群的本原元是幂单的,因此便有推测由二元生成的自由群,如果本原元幂单则群是幂单群（可解群）。但有一反例指出由二元生成的自由群是完全群即本原元幂单但不可解。因此,我们需要对二元生成自由群的生成元的线性表示像BA,进行限制,或者对维数进行限定,研究本原元幂单的群自身幂单的充要条件,或寻找到其它非幂单群本原元幂单的反例。与此同时,本课题也是从另一角度诠释了幂零矩阵的性质。该课题立足于幂零矩阵的基本定义,用最原初的方式进行探究,力求为研究幂零的相关性质提供新的思路。本文以矩阵对数为工具,探究本原元的相关性质,争取找到足够多的、有价值的信息,再利用矩阵的乘积特点,构造若干独立的方程,通过对方程的比较和计算去寻找矩阵幂零或幂单的必要性或充分性条件。文中大量数据计算均依靠Maple辅助完成。具体内容为:（1）若当块不高于二阶和不高于六阶生成的群在本原元不高于六阶且幂单时,所生成的群是否为幂单群;（2）若当块均不高于三阶生成的群在本原元不高于五阶且幂单时,所生成的群是否为幂单群;（3）线性表示维数为10时矩阵群幂单性的若干特例。
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