【摘 要】
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本文主要研究奇异线性Hamilton系统的谱问题包括:奇异连续Hamilton系统的谱问题和奇异离散Hamilton系统的谱问题.对于奇异连续Hamilton系统,本文首先给出具有一个奇异端点的偶数阶系统的Friedrichs扩张（F-扩张）域的刻画,其次研究具有两个奇异端点的J-对称系统谱的正则逼近,最后考虑具有一个奇异端点的任意阶系统的本质谱在奇异端点处微扰下的不变性.对于奇异离散Hamilt
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本文主要研究奇异线性Hamilton系统的谱问题包括:奇异连续Hamilton系统的谱问题和奇异离散Hamilton系统的谱问题.对于奇异连续Hamilton系统,本文首先给出具有一个奇异端点的偶数阶系统的Friedrichs扩张（F-扩张）域的刻画,其次研究具有两个奇异端点的J-对称系统谱的正则逼近,最后考虑具有一个奇异端点的任意阶系统的本质谱在奇异端点处微扰下的不变性.对于奇异离散Hamilton系统,考虑了具有一个奇异端点的偶数阶离散系统的本质谱在无穷远处微扰下的不变性.这些结果为谱理论的研究提供了工具和方法.具体安排如下:第一章介绍了上述问题的研究背景及现状,并且给出本文所考虑的问题及主要工作.第二章为预备知识,主要回顾Hilbert空间中线性算子、线性关系和半双线性型的基本概念和结果,并且给出预备引理.第三章重点研究一类具有一个奇异端点的偶数阶非对称连续Hamilton系统的F-扩张,利用系统最大算子定义域中的每个元素在奇异端点处的渐进性刻画了其F-扩张域.此外,还研究了对称,J-对称,正则Hamilton系统的F-扩张,并且将结果应用到具有矩阵值系数的Sturm-Liouville（S-L）方程.特别地,利用最大算子H的定义域D（H）中的元素给出了使扩张域描述更简单的渐进性结果.对于对称系统,主解理论是研究F-扩张的重要工具.本文所给出的F-扩张描述未使用主解理论.本文的结果表明一大类非对称Hamilton系统的F-扩张和对称Hamilton系统的F-扩张形式类似.我们首次给出非对称系统包括J-对称系统F-扩张域的描述,关于对称系统的F-扩张域的描述是[27,71,79,84,137]等相关结果的改进和推广.第四章研究具有两个奇异端点的J-对称连续Hamilton系统谱的正则逼近.对于系统的J-自伴扩张S,我们首先构造相应的正则诱导限制算子Sk,然后证明了Sk广义预解收敛于S,进一步得到了有界域上的局部谱准确性.当系统两个端点都是J-极限圆型时,我们证明了 S和Sk的预解算子是紧的,并且Sk的预解算子序列是离散紧的.在此基础上,利用已有结果得到了在整个复平面上Sk关于S是谱准确的.这部分内容将自伴微分算式的相关结论推广到了J-自伴Hamilton系统上.第五章研究具有一个奇异端点的任意阶连续Hamilton系统的本质谱,利用系统系数和扰动项给出了系统本质谱在奇异端点处微扰下保持不变的充分条件,并且研究了不同权函数下系统本质谱之间的关系.值得一提的是,我们所研究的系统是任意阶的,包括偶数阶和奇数阶.另外,所研究的系统不一定是对称的.特别地,我们所给出的奇异端点处微扰的概念是利用预最小算子H00给出,其优点是H00的定义域D(H00)中每个元素都有紧支撑,便于应用.第六章研究具有一个奇异端点的偶数阶离散Hamilton系统本质谱在无穷远处微扰下的不变性.首先,根据预最小关系的特点,利用新的奇异列刻画了离散Hamilton系统的本质谱.其次,给出无穷远处微扰的概念.在此基础上,证明了系统本质谱在此类扰动下的不变性.特别地,我们利用系统系数和扰动项给出了系统本质谱在无穷远处微扰下保持不变的充分条件.注意到,相比于连续Hamilton系统,离散Hamilton系统的研究更为复杂,并且相比于[99,定理5.1]和[124,定理4.4],我们的假设性条件较弱且容易验证.
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