量子几何相位是过去三十年来量子力学中最重大的发现之一。1984年，Berry在他那具有洞察力的、简洁而漂亮的工作Quantal Phase Factors Ac-companying Adiabatic Changes中正式提出量子几何相位的概念，他发现一个绝热演化的量子态作循环演化后除了已知的动力学相位还有一个仅与参数流形上的演化路径有关的相位，这个相位因此具有几何意义，后来也常被称为Berry相位。本质上讲，Berry相位是传统量子力学框架下采用量子系统哈密顿算子的非简并本征态作为循环态的一种实值Abel相位。在Berry工作的推动下，量子几何相位作为隐藏在概率振幅中被忽视的物理量开始得到广泛重视，其家族日益蓬勃壮大，然而其发展的主线由下面几个工作给出:1984年，Wilczek和Zee引入量子非阿贝尔几何相位的概念;1987年，Aharonov和Anandan给出量子非绝热几何相位的概念;1988年，Samuel和Bhandari提出了量子非循环几何相位的概念;2000年，Manini和Pistolesi给出了量子非对角几何相位的概念。这些概念都是针对纯态而建立起来的，而对于更实际的量子混态，其量子几何相位的引入源于1986年Uhlmann的工作;更具物理实际的幺正演化下的量子混态几何相位概念是在2000年由Sj(o)qvist等人引入的;而更一般的非幺正演化下的量子混态几何相位概念则是Tong等人在2004年给出的。量子几何相位同时也引发了包括经典和量子力学、经典和量子光学、原子和分子物理、粒子与原子核物理、凝聚态物理、引力理论和宇宙学等领域在内的物理学各分支对于将几何学和拓扑学中的现有成果应用于其中的广泛而深入的研究和探讨。此外，在实际应用中量子几何相位理论也发挥了非常重要的作用。例如，由于量子几何相位仅与量子态在参数流形或投影Hilbert空间上的演化路径有关，而与量子系统的运动无关，从而能够抵抗那些伴随量子运动而来的噪声，这在量子计算领域中的几何量子计算中发挥关键作用;利用量子几何相位在临界点上的奇异性来表征量子相变;利用Berry曲率产生人工电磁场，使得人工电磁场作用在电中性原子上就好像电磁势作用在带电粒子上一样，利用这种机制创造的量子模拟器可以用来模拟现实中不容易通过实验来验证的物理现象或物理猜想。　　传统或标准量子力学的公理之一是假设所有力学量算子都具有自伴性或厄密性。作为推广传统量子力学的一种尝试，非厄密量子力学最大的贡献在于取消了力学量算子必厄密的要求，使得物理学家可以扩大力学量算子的集合，从而有效地描述新颖的物理现象并提供强大的解析和数值方法。一个著名的非厄密量子模型是1987年由Lamb等人在讨论物质与场相互作用中关于为解决含Weisskopf-Wigner衰变的双能级系统在使用衰减态时因其对规范的选择敏感的问题时提出的。1988年，Garrison和Wright正是利用该模型首次提出了复值量子几何相位的概念，通过类比Berry以及Aharonov和Anandan的工作给出了计算绝热循环和非绝热循环两种特殊情况下复量子几何相位的计算公式，本论文将其称为Garrison-Wright相位。作为博士研究生期间的研究工作之一，本论文的作者将Garrison-Wright相位推广至更为一般的情况并建立了一套关于Garrison-Wright相位族的统一理论，该理论不仅可以容纳Garrison和Wright的工作，而且提出了非循环以及非对角Garrison-Wright相位的概念，给出了其计算公式;同时进一步将该理论结合业已成熟的单分子光谱技术提出了一种可行的理论方案用于实现量子计算中的重要部件相移门。　　本论文按如下方式行文。　　第一章为引言，主要从历史角度出发以Berry相位的发现为分水岭介绍Berry相位前后与量子几何相位相关的物理理论及应用的主要发展情况，并重点介绍Berry等人关于量子几何相位的工作，最后引出量子几何相位仍然未被解决的问题。　　第二章引入循环态Garrison-Wright相位的概念，然后通过引入规范不变距离的概念，建立了用于描述循环态Garrison-Wright相位概念的一个统一的几何理论，最后以Bethe-Lamb模型为例展示如何应用该理论求解循环态Garrison-Wright相位。　　第三章利用公理化方法建立对Garrison-Wright相位进行推广和统一的一般理论。首先，通过公理化的方式建立在Garrison-Wright意义下量子系统的运动定律，并给出一些必要的预备知识;然后，从该运动定律出发构造态流形，为后续讨论构建必要的框架;再次，在Garrison-Wright意义下推广了干涉的定义，并以此为基础引入广义Bargmann不变量并给出其的拓扑解释;最后，引入关于非循环态以及正交态Garrison-Wright相位的概念，并运用新的理论统一了Garrison-Wright相位家族。　　第四章通过将Garrison-Wright相位族理论与u(1)⊕su(1，1)李代数方法相结合，并应用于目前已经十分成熟的单分子光谱领域中一个成熟的单分子模型上，通过调节外场参数有效地从理论上实现对固基单分子模型Garrison-Wright相位的开环控制。　　第五章是对本论文的总结和对今后工作的展望。　　下面列出本论文的主要结论。　　1、循环态Garrison-Wright相位的几何理论　　通过如下定理引入规范不变距离的概念，　　定理§2.2.1当且仅当泛函D（[Ψ1]，[Ψ2]）相对于相位α平稳，即δD/δα=0时，泛函D是规范不变的。这里泛函D（[Ψ1]，[Ψ2]）=√<(Ψ)1e-iα-(Ψ)2|Ψ1eiα-Ψ2〉，α∈C，其中[Ψ1，2]分别表示态|Ψ1〉和|Ψ2〉的等价类或射线。　　定义§2.2.2相对于相位α平稳时的泛函D（[ψ1]，[ψ2]）称为射线[Ψ1]和射线[ψ2]之间的规范不变距离。　　进一步通过该规范不变距离的定义给出关于循环态Garrison-Wright相位的一个几何定理，使得Garrison和Wright关于绝热和非绝热复几何相位的工作能够用一个统一的方法加以描述。　　定理§2.2.3假定由具有有限非简并瞬时能量本征值的哈密顿算子H(t)描述的量子耗散系统作循环演化，那么其循环态的Garrison-Wright相位φGW必满足如下积分形式，φGW=(∫)cclosed√dL2-dD2.这里dL=√<(ψ)c(t)|(Ψ)c(t)〉dt表示闭合回路Cclosed:t∈[0，T]→|Ψc(t)〉的无穷小长度，而dD=△Edt/h表示两相邻射线间的无穷小规范不变距离，能量的不确定值为△E=√<(Ψ)(t)|H2(t)|Ψ(t)〉-<(Ψ)(t)|H(t)|Ψ(t)〉2，|Ψ(t)〉～|Ψc(t)〉是非厄密Schr(o)dinger方程的解。　　推论§2.2.4假设由具有有限非简并瞬时能量本征值的哈密顿算子H(R(t)〉描述的量子耗散系统在某一非简并本征态|n(R(t))〉上作绝热循环演化。那么，该本征态的绝热Garrison-Wright相位φBGW必满足如下积分形式，φBGW=(∫)Cclosed dR√.这里Cclosed:t∈[0，T]→R(t)是参数流形上的一条闭合曲线使得R(0)=R(T)。　　2、Garrison-Wright相位族的一般理论　　通过如下定理引入规范不变干涉强度的概念，　　定理§3.3.1当且仅当泛函(g)2（[Ψ1]，[Ψ2]）相对于相位θ平稳，即δ(g)2/δθ=0时，泛函(g)2是规范不变的。这里泛函(g)2（[ψ1]，[ψ2]）=<(ψ)1e-iθ1-(ψ)2|ψ1eiθ1-ψ2〉，θ∈C，　　定义§3.3.2|ψ1〉，|ψ2〉∈V是Garrison-Wright意义下的量子系统中两个量子态，那么当泛函(g)2（[Ψ1],[ψ2]）相对于相位θ平稳时，称为|Ψ1〉和|Ψ2〉之间的规范不变干涉强度。　　规范不变干涉强度能够给出Pancharatnam同相或平行概念的推广，使得两个非邻域的量子态可以比较它们之间的广义Pancharatnam相位差。通过如下引理，给出了一个将广义Pancharatnam联络的局域1-形式与广义Pancharatnam相位的广域形式相联系的定理。　　引理§3.3.6对连接任意|ψ1〉，|ψ2〉∈V-{0}(或|(Ψ)1〉，|(Ψ)2〉∈(V)-{0}）两点的测地线必须同时满足如下两个具有规范形式不变性的测地方程，D2/ds2|Ψ(s)〉=-c|Ψ(s)〉，(D)2/ds2|(ψ)(s)〉=-c*|(ψ)(s)〉.这里c=〈d(ψ)(s)/ds|dψ(s)/ds〉是常数，而|Ψ(s)〉∈V-{0}和|Ψ(s)〉∈(V)-{0}分别用来描述连接|ψ1〉和|Ψ2〉两点以及|Ψ1〉和|ψ2〉两点的测地线。　　定理§3.3.7令任意两个在Garrison-Wright意义下非正交的量子态|Ψ1〉，|Ψ2〉∈v-{0}被空间v-{0}中一条测地线G1,2所连接，那么这两个量子态之间的广义Pancharatnam相位差θGP1,2由下式决定θGP1,2=-i∫G1,2AGP.这里AGP=〈(ψ)|dΨ〉是广义Panchratnam联络的局域1-形式。　　运用此定理，不仅给出了如下广义Bargmann不变量的形式<（ψ）1|Ψ2〉/<(ψ)2|Ψ1〉〈（Ψ）2|ψ3〉/<(ψ)3|Ψ2〉…〈（Ψ)N-1|ψN〉/〈(Ψ)N|ΨN-1〉〈(Ψ)N|Ψ1〉/<(ψ)1|ΨN〉,而且通过以下定理统一并扩展了Garrison-Wright相位族。　　定理§3.4.1假定|Ψ(t)〉是Garrison-Wright意义下量子系统的演化态，并且其初态|Ψ(0)〉和末态|ψ(τ)〉不正交，那么初态和终态之间的Garrison-Wright相位满足φGW(0，τ)=-i/2log<(ψ)(0)|ψ(τ)>/<(ψ)(τ)|(ψ)(0)>+1/h∫[0，τ]<(ψ)(t)|H(t)|Ψ(t)〉dt.该定理不仅容纳了Garrison和Wright的工作，而且引入非循环和非对角Garrison-Wright相位的概念。　　推论§3.5.1绝热和非绝热Garrison-Wright相位是关于Garrison-Wright相位一般描述的定理§3.4.1在循环态情况下的两个特例。　　推论§3.5.2在Garrison-Wright意义下的多能级非厄密量子系统中对正交态而言存在良定义的非对角Garrison-Wright相位，其与中间态的选择无关。