工程与物理上，人们经常要遇到某类积分的近似计算问题。其必要性在Davis和Rabinowitz的专著[17]里已有充分的论述，我们不再多费笔墨。在众多的数值积分方法中，Gauss型求积公式无疑是相当重要的。我们的主要目的是讨论Gauss型求积公式．包括Gauss-Radau公式，Gauss-Lobatto公式，Gauss-Kronrod公式和新近发展的带函数导数值的Gauss-Turán公式等等。 设μ：R→R为给定的非降函数，它有无穷多个递增点，且它的所有矩都存在且有限，β0=fRdμ（x）＞0。那么，对于任意的多项式p，广义Stieltjes积分fRp（x）dμ（x）都存在。把Lebesgue-Stieltjes积分fRf（x）dμ（x）用于集合的特征函数上，则函数μ产生一个Lebesgue-Stieltjes测度dμ（x），该测度被称为m分布，有时我们也称之为（正）测度。其次，若x→dμ（x）是绝对连续的函数，则我们称其导数μ′（x）=w（x）为权函数。 对于任何的m分布来讲，总存在相应的正交多项式序列pn（·）=pn（·；dμ），n=0，1，…，它们满足pn（x）=knxn+低次项，kn＞0，（pm，Pn）=δmn，m，n≥0，其中（·，·）为内积，定义为 给定实直线上的m分布dμ，其n次正交多项式的零点为x1，x2，…，xn。考虑数值求解积分 Gauss型求积公式的共同特征是用被积函数在上述零点（有时还需按某种规则加上其它的点）的函数值（某些时候再加上其导数值）的线性组合来逼近上述积分。它们的优点是具有很高的代数精确度，因而它们理应成为我们实用上的首选。但正交多项式的零点往往是些无理数，所以其高精度的优势往往因实际计算的舍入误差大打折扣。现代32位64位乃至高性能计算机的出现，使得舍入误差的影响已可有效地加以控制。所以，Gauss型求积公式重又成为数值求积中的新贵。 本论文按内容共分为五章。 在第一章中，我们首先粗略地回顾了一下数值积分的历史，接着为后续的章节大致地定下一个讨论问题的框架，并且引进一些必要的记号与预备的知识，作为后四章的铺垫。在第二节，我们回忆插值理论中重要的Langrange插值法，Hermite插值法以及Newton插值公式。设N为自然数集，N0=Nu{0}，Pn表示所有次数不超n的多项式集合，Tn（x），Un（x）分别表示浙学博论浙乳‘天军僻士花犬U。次第一、第二类Chebyshev多项式.又设X一X云xj一x‘葱，j=l，…，几（0 .0.2）。ll 一一 X饭“1，葱为为任意n个不同点x，，xZ，…，x。处的Langrange插值基函数，而。。（二）=fl（x一x‘） 云=1（0.0.3）为节点多项式.引理O.0.L第一章中第一个重要的引理来自【49}.设石:，…，认为。个不同点，且f(川在乐，‘=1，…，。，的近旁连续，则f畔+1，…，票十‘卜亡共碑蕊或J“’:{，(。211（;一“）一‘一‘}·（0 .0.4）粼=1，p祷F当jl二…二九二2j一1，我们得到 升l，，x一石‘、，;，，，、、‘2，一l、 f‘I荟犷J，…，否护]=》二二丁一一二石（（=升琴）‘，f，（z））之二‘，，（0 .0.5） 言（Zj一1）!“。。（x）·一一二一“其中山。（x）二n几1（x一公），f[《‘十‘，…，聆+11表示函数f（x）的重节点差商，节点石‘出现j‘+1次，下同. 上述引理及其特例在第四、第五章起着关键的作用. 在第一章的后两节，我们主要是汇集了正交多项式的若干重要性质，如零点是实单重的，都位于相应测度的支集内部，等等.当然，论及正交多项式与Gauss型求积公式，三项递归公式与Christoffel一Darboux恒等式自然是免不了的.而前者又把我们引向Gauss求积公式的特征值特征向量的计算方法，这是Golub及其合作者诸多重要结果中的一个.具体说来，是下面的定理【42」.定理0.0.1.Gos，节点x:为Jac的i矩阵人的特征值，而Goss权叨‘由下式给出二‘=口。。子，1，‘=1，2，…，。，其中。‘是人对应于x:的归一化特征向量，。‘，1为其第一个分量. 我们也把相当多的注意力放在了经典的正交多项式一Jacobi正交多项式、Laguerre正交多项式、Hermite正交多项式一的特殊性质上.我们关心的另一类权是最近由Gori和Micchelli于阵51中引进的.这是一个权函数类，其中的权函数能够展开成余弦级数.具体地说， C兄二了i万万一艺’，，（二）几‘。（x），n oN， l二0（0 .0.6）其中求和号上‘的表示对应于l二0的项须折半.我们称之为Gori一Micchelli权函数类，wn，其中的权函数称为Gor卜M‘cche‘l‘权·它包含了第一类Chebyshev权分净广义Gegenbauer权l装过l”+‘（1一二，）入，*>一1.黔记为以及 浙江大学博士论文亩 在第二章，我们主要讨论。分布的G凡记翻公式和GauJ姐Lobatto公式.对于左闭的Gauss-Radau公式（对右闭的Gau，R“au公式，其结果是类似的，我们略去），我们首先获得了一个一般性的结果，它把Gauss.Radau公式与Gaus。公式紧密地联系在一起，即 定理0.