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本文分别研究了自由Rota-Baxter代数和Hopf代数,自由Nijenhuis代数和左余右对顶Hopf代数的关系,并构造了自由Reynolds代数.全文分四章,第一章介绍了研究背景,研究进展,以及一些基本概念和结论.在第二,三,四章中,我们分别构造了自由Rota-Baxter代数上的Hopf代数和上循环Hopf代数,自由Nijenhuis代数上的左余右对顶Hopf代数,以及集合上的自由Reynolds代数.Rota-Baxter代数和Hopf代数是量子场论研究中的两个重要的代数结构,有必要对其相互之间的关系作进一步的研究和探讨,平面根树是二者联系的重要的桥梁.作为自由算子代数的商代数,Rota-Baxter型算子代数的自由非交换对象可用括号字构造出来.在本文第二章中,我们首先讨论了自由Rota-Baxter代数的因子分解.然后,我们构造了Rota-Baxter字上自由Rota-Baxter的Hopf代数.最后,我们在装饰平面根树的自由Rota-Baxter代数上建立了上循环Hopf代数结构.Nijenhuis算子是一个Rota-Baxter型算子,它是“齐次”的Rota-Baxter算子.对自由Rota-Baxter代数上Hopf代数的讨论为研究Nijenhuis代数提供了很好的参考价值.在本文的第三章中,我们利用交错字构造了集合上自由有单位元的Nijenhuis代数,定义了左余双代数以及左余右对顶Hopf代数,并构造了自由Nijenhuis代数上的左余右对顶Hopf代数.Reynolds算子是在流体动力学的研究中产生的,有丰富的应用背景.迄今为止,对Reynolds算子的研究成果却很少,且几乎都是从分析的角度出发的.本文第四章构造了集合上的自由Reynolds代数,这是从代数的角度对Reynolds算子的研究.一方面,自由对象的构造对Reynolds代数范畴本身很重要.另一方面,G.-C.Rota认为Reynolds算子是“无穷小”的Rota-Baxter算子.因此,对自由Reynolds代数的讨论可拓宽我们对Rota-Baxter代数研究的思路.第四章的结构是:首先研究了Reynolds代数以及权为λ的Reynolds代数的一些基本性质.然后构造了所谓的Reynolds字,它是自由Reynolds代数的线性基.最后验证了自由Reynolds代数的泛性质。