【摘 要】
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随着分数阶微积分在定义、性质和计算方法方面研究成果的积累,分数阶微积分也由数学理论研究逐步走向工程应用。在Mathieu振子中引入分数阶微积分理论,不仅丰富了分数阶微积分在动力学方面的应用,同时还揭示了分数阶微积分在此类系统中的作用规律。本文以3类含分数阶微分项的Mathieu振子为对象,研究分数阶微分项对该类系统的作用方式。主要研究内容如下:（1）研究了谐波激励下分数阶平方阻尼Mathieu振子
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随着分数阶微积分在定义、性质和计算方法方面研究成果的积累,分数阶微积分也由数学理论研究逐步走向工程应用。在Mathieu振子中引入分数阶微积分理论,不仅丰富了分数阶微积分在动力学方面的应用,同时还揭示了分数阶微积分在此类系统中的作用规律。本文以3类含分数阶微分项的Mathieu振子为对象,研究分数阶微分项对该类系统的作用方式。主要研究内容如下:（1）研究了谐波激励下分数阶平方阻尼Mathieu振子的主共振。采用多尺度法得到了主共振的近似解析解,利用数值方法验证了近似解的准确性。基于Lyapunov第一方法得到了周期运动的稳定性条件,通过数值仿真研究了分数阶微分项对系统主共振幅频曲线的影响。结果发现,合理调整分数阶微分项阶次或系数可有效改善系统主共振的幅频特性。（2）研究了谐波激励作用下含分数阶微分项的van der Pol-Mathieu振子的主共振。首先应用平均法得到了系统主共振一次近似周期解,定义了等效线性阻尼和等效线性刚度。然后建立了稳态周期解的幅频响应方程,在此基础上利用多尺度法进一步推导了拟周期稳态运动的振动幅值近似范围。最后考察了系统参数对幅频曲线的作用特点,分别研究了分数阶微分项对系统稳态周期响应和拟周期响应的影响。研究表明,选择不同的分数阶阶次p可使分数阶微分项呈现不同程度的刚度特性或阻尼特性,结合系数K可以对系统响应幅值和共振频率等产生一种双重调节。（3）在拟周期Mathieu振子中引入分数阶微分项,建立了双频参激的拟周期Mathieu模型。采用摄动法得到系统稳定区和非稳定区分界线（即过渡曲线）近似表达式,利用数值方法验证了解析结果的准确性,图像显示两者吻合较好。通过归纳不同情况下的过渡曲线近似表达式,得到了等效线性阻尼和等效线性刚度的一般形式。利用数值仿真直观地揭示了分数阶微分项参数对系统稳定区域大小和过渡曲线位置的影响规律。最后,对研究成果进行总结,列举了几个值得继续深入研究的问题。
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