纳米结构是一种人工微结构,这种结构的限度在纳米数量级。随着光刻技术与晶体生长技术的日渐成熟,在近代高度发展的半导体工艺基础上,制作小尺度、任意形状的纳米结构成为可能。九十年代以后,半导体材料的技术和制作工艺水平迅速发展,使得半导体纳米结构成为研究微型器件中粒子传导的理想模型。这种材料是由包含高速运动的电子的薄层半导体构成,电子在垂直薄层方向的运动是量子化的,所以电子的运动被限制在水平平面内。这种被局限在平面内运动的理论模型,我们称之为二维电子气体系,即量子台球体系。量子台球体系与薄金属膜相比,优点在于二维电子气体系在低温条件下的电子密度较低,而且还可以通过改变外场来控制电子密度。电子密度较低,就会有较大的费米波长(大约四十纳米左右)和大的电子平均自由程(大约十微米左右),这就为电子的运动提供了空间,电子间的相互作用就可以忽略,而杂质粒子和声子的散射作用影响很小。电子除了与台球壁碰撞外,可以看作是自由运动的经典粒子,所以在量子台球(二维电子气)中研究电导输运性质非常方便。二维量子台球体系的性质取决于台球的边界形状关,我们只要改变台球体系的几何形状,就可以很好的控制体系中粒子的运动,是规则的或是混沌的。当台球体系的几何形状是规则的,例如:圆形台球体系、椭圆台球体系、矩形台球体系,那么这种体系就是可积体系,即能用分离变量法求出解析解的哈密顿系统,粒子在这些台球体系中的运动就是规则运动。当我们研究的体系无法求出其解析解时,粒子在这些台球体系中的运动就是不规则的,呈现出混沌特征,这种体系就是不可积体系,例如:体育场体系、sinai体系。我们在处理不可积体系时,只能通过理论计算的方法求出薛定谔方程的数值解,由于数值方法需要大量的数据和参数,而且算法复杂,我们通常只能得到近似解而得不到精确解,这也阻碍了量子混沌研究的进展。为了推动量子混沌研究以更便利、简洁而且有效的方式为人们所接受,科研工作者发展了量子谱函数方法、相空间分布函数方法以及传输矩阵结合拓扑学的方法。上世纪七八十年代,随着研究量子台球的各种方法的相继产生,朗道猜想粒子通过这种微腔时的电导可以通过计算传输矩阵,对传输系数求和得到。随后杜孟利和Delos等人在研究里德堡原子在强电磁场中光吸收谱时,在Gutzwiller态密度迹公式的基础上提出了闭合轨道理论,为研究经典物理与量子力学的对应关系提供了理论基础,被公认为是联系经典世界与量子世界的唯一桥梁。这种理论也可以扩展到开轨道情况,为研究量子台球的性质提供了新的有用工具。经典物理与量子力学的对应关系经历了量子力学的诞生,普朗克和爱因斯坦对黑体辐射的讨论,玻尔和索末菲的量子化假设以及Gutzwiller对不可积系统发展的周期轨道理论,还有杜孟利J.B.Delos提出的半经典闭合轨道理论,以及谱函数方法和量子力学相空间理论方法的飞跃过程。本文从量子力学和经典力学的对应关系入手,采用半经典轨道理论研究了在外加弱磁场下二维圆形量子台球的输运性质。我们将半经典近似的格林函数与体系中粒子的本征波函数作用后求积分,由此得到了传输矩阵元,再将传输矩阵元进行傅里叶变换得到量子峰谱。根据经典力学可以推导出粒子在腔内碰撞时各个物理量之间的几何关系,精确计算出在弱磁场下开轨道圆腔传输的粒子经典轨道长度,与传输矩阵元傅里叶变换的量子峰位置进行了对比,结果发现谱峰位置跟轨道长度吻合的很好。在精度允许范围内给出了经典物理与量子物理的对应关系。在弱磁场中研究二维开放圆形台球体系的输运性质时,我们不仅做了开口平行的量子台球模型,同时也做了开口垂直的量子台球模型,并对两者进行了比较。分形理论在传统科学感到困惑的地方,特别是越无规则、越复杂的领域,分形理论越能显示出它的有效性。例如高分子在一定条件下能生成凝胶,对化工生产带来了很大的困难,用传统理论很难解决这一课题,而分形理论却能为这一课题的解决提供了有力的工具。分形具有一个重要的性质,就是它的自相似性,即曲线的局部形态与整体形态是相似的,不管放大级别多大,曲线的形状都是相似的。分形理论冲破了整体与部分之间的隔膜,找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁。分形理论转变了人们的传统的思维方法,认识到整体与部分之间的关系可由线性进展到非线性的阶段,与系统论共同解释整体与部分之间多层次、多视角、多维度的相关联方式。我们用分形和相空间理论分别研究了圆形量子台球体系和环形量子台球体系,发现粒子在圆形量子台球体系中的运动是规则的、周期的,不存在混沌现象,然而偏心环形量子台球体系是不规则体系,无法得到粒子的解析解,粒子在偏心环量子台球体系中的运动呈现出混沌现象。