论文部分内容阅读
本文主要研究带有非局部项的椭圆型偏微分方程的解的存在性,其中包括有界区域上的Kirchhoff方程,有界区域上的p-Kirchhoff方程,R3上带Hartree型非线性项的Kirchhoff方程以及有界区域上的Choquard型方程.本文分为六章:第一章,我们介绍本文所研究问题的背景以及研究现状.第二章,我们给出本文所需要的一些预备知识.第三章,我们研究下列Kirchhoff方程｛-(a+b∫Ω ▽u｜2dx)△u = f(x,u)+ μ｜u｜4u,x∈Ωu= 0,x∈?Ω,其中a,b﹥0,Ω(?)R3是光滑的有界区域,μ ﹥ 0是一个参数且f:Ω × R → R是满足一定的条件Caratheodory函数.利用集中紧原理和对称山路定理,我们得到了方程的多解性.第四章,考察下列p-Kirchhoff方程｛—［a + b(∫Ω|▽u|pdx)1/p-1］△pu= λuq-1+up*-1,x∈Ω,u≧ 0,x∈Ω,u = 0,x∈?Ω,其中 a,λ﹥0,b≧ 0,Ω(?)RN是光滑的有界区域,1﹤p﹤N,1﹤q﹤p*= Np/(N—p),p*是Sobolev嵌入临界指标且△p是P-拉普拉斯算子.通过建立全局紧性结果,在不同的参数假设下,我们得到方程解的存在性和多解性.第五章,我们研究下列带Hartree型非线性项的Kirchhoff方程—(a + b∫R3｜▽u｜2)△u + V(x)u=(Iα*｜u｜p)｜u｜p-2u,x∈R3,其中a,b>0,V:R3 → R是位势函数且Iα是Riesz位势.假定V(x)满足一定的条件,利用Pohozaev流形的方法,我们证明,对所有的(3 + α)/3<p<3 + α,方程都存在基态解.第六章,我们讨论下列Choquard型方程—△u=λu+(∫Ω|u(y)|2*α/|x-y|N-α dy)丨u丨2*α-2u,x∈Ω,其中Ω(?)RN是光滑有界区域,λ﹥0,N≧3,0﹤α<N且2*α =N+α/N-2 是一个临界指标.我们建立了一个全局紧性结果,这是Struwe的全局紧结果的非局部的推广.