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【摘要】二项式定理作为高考内容之一，在每年的对口单招考试中都能考到，而学生在解题过程中经常会出现这样或那样的错误.本文将学生在解答二项式定理问题过程中容易出现的错误列举出来，分析错误产生的原因，以帮助学生更好地掌握这部分内容.
【关键词】定理；错误；题型；正确应用
二项式定理作为高考内容之一，在每年的对口单招考试中都能考到，题型多为选择题或填空题，偶尔也会出现大题.在二项式定理的习题中，题型繁多，解法灵活多变且很独特，学生较难掌握；又由于排列、组合是二项式定理的基础，而排列、组合的概念又比较抽象，涉及的知识面较广，这给学生学习二项式定理增加了一定的难度，导致学生对二项式定理不理解，所以在解题过程中常常会出现这样或那样的错误.本文将学生在解答二项式定理问题过程中容易出现的错误列举出来，以帮助学生更好地掌握这部分内容，避免类似错误再次发生.
1.用“二项展开式”的错误解题
求二项展开式中的题型有“(x+y)n”型、“(x-y)n”型及二项展开式的“逆用”题型等，这类题目一般为容易题.由于学生“问题转化”能力不强，没有深刻理解二项展开式的公式，没有把握公式的本质，所以解决此类问题往往会出现错误的解法.
例1 求3x-1x24的展开式.
错解 3x-1x24
=C04(3x)4+C14(3x)31x21+
C24(3x)21x22+C34(3x）11x23+C441x24
=x43+4x-2+6x-103+4x-173+x-8.
分析 学生解答此题时忘记了二项式中的“-”号.正确解答此题，只需把3x-1x24改写成3x+-1x24的形式，然后根据二项展开式的格式展开即可.正确的结果为：x43-4x-2+6x-103-4x-173+x-8.
2.用“通项公式”的错误解题
通项公式Tk+1=Cknxn-kyk(说明：按x的降幂排列）中的Tk+1，Ckn，k，n的含义及变化规律，是二项式定理的核心.常见的题型有：利用通项公式确定展开式中的常数项、二项式中指定幂的系数、确定二项式中的相关元素等.不少学生由于对公式本质理解得不够或思考不够严密，导致在解题过程中出现错解或误解.
例2 已知3x+1x2n展开式中第2，3，4项（按前项降幂排列）的系数成等差数列，求项数n.
错解 由于第2，3，4项的系数分别为C2n，C3n，C4n，
∴2C3n=C2n+C4n，解得n=11.
分析 此题的错解在于学生没理解二项式项数的系数与二项式系数之间的内在联系，以至于产生了错解.学生只要掌握了二项式项数的系数与二项式系数的关系，理解它们之间的内在联系，此题便可迎刃而解.
解 由于第2，3，4项的系数分别为C1n，C2n，C3n，
∴2C2n=C1n+C3n，解得n=7.
3.用“条件项”的错误解题
所谓“条件项”，即为题目中“所限定某个条件的项”，根据题目要求只要求出“限定项”即可.由于学生对二项展开式理解不够或思考不严密，往往会出现少算或多算“限定项”，导致解题错误.
例3 求(x2+1)(x-1)6的展开式中x4项的系数.
错解 ∵x4项的系数为C26x4(-1)2,
∴x4项的系数为15.
分析 由于学生对x4的来源有误解，认为(x2+1)中没有x4项，所以就不再考虑这个因式了，只考虑(x-1)6这个因式.关于x4的来源，应从两个因式来综合考虑：
当第一个因式(x2+1)取1时，则第二个因式(x-1)6中必取x4，其系数为C26x4(-1)2=15.
当第一个因式(x2+1)取x2时，则第二个因式(x-1)6中必取x2，其系数为C46x2(-1)4=15.
所以，x4项的系数为30.
4.用“二项式系数”的错误解题
二项式系数与二项式某项的系数是两个截然不同的概念，由于学生对这两个概念理解不透，在解题时往往会混淆这两个概念，以至于出现了错误的解题方法.
例4 在(x-y)7的展开式中，求系数最大的项.
错解 ∵(x-y)7的展开式中有8项，
∴(x-y)7的展开式中中间两项系数最大，即为第4，5项.
∴所求系数最大的项为：第4项-C37x4y3或第5项C47x3y4.
分析 此题解法错误在于混淆了二项式系数与二项式某项系数的概念，正确的解法为：由于第4项的系数为负数，所以第5项的系数最大，所求系数最大的项为：第5项C47x3y4.
说明 由于二项式(x+y)n的二项式系数为C0n，C1n，C2n，…，Cnn，当n为偶数时，中间项Cn2nxn2yn2的二项式系数最大；当n为奇数时，中间项Cn-12nxn+12yn-12和Cn+12nxn-12yn+12的二项式系数最大，二项式系数的奇数项和等于偶数项和，(x+y)n二项式系数的和等于2n.
5.用二项式定理求“近似值”的错误解题
学生在解决此类问题时，由于掌握不准计算的范围，往往使得计算非常复杂和繁琐，最后导致计算结果出错.
例5 求1.0026的近似值,使误差小于0.001.
解 ∵1.0026=(1+0.002)6
=1+C16（0.002）+C26(0.002)2+ C36(0.002)3+…+(0.001)6，
又 ∵从第3项起，以后的项都可以忽略不计，
∴1.0026=(1+0.002)6≈1+6×0.002=1.012.
说明 对于(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+C3nx3+…+Cnnxn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,x4,…,xn项的绝对值都很小，因此在精确度允许的情况下可以忽略不计.因此可以利用近似计算公式(1+x)n≈1+nx来计算，如果精确度要求高一些，可以用公式(1+x)n≈1+nx+n(n-1)2x2来计算.解题时用哪一个公式，主要取决于精确度的要求.
6.用“赋值法”的错误解题
由于二项展开式是恒等式，所以二项式(x+y)n对于任意的x,y都成立.学生在用“赋值法”时，往往找不准待求代数式与已知条件的联系，盲目地找一些数进行代替，导致错误的解法.
例6 已知(3x-1)10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，求a10+a9+a8+…+a2+a1的值.
解 令x=0，则有a0=1.
令x=1，则有a10+a9+a8+…+a1+a0=210.
∴a10+a9+a8+…+a2+a1=210-1=1023.
例7 若(3x+22)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2的值.
解 令x=1，则有(3+22)7=a0+a1+a2+…+a7.
令x=-1，则有
(-3+22)7=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7).
故(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(-1)7=-1.
说明 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的内在联系，赋予二项式中变量适当的值即可.一般而言，“1，0，-1”这三个特殊值在解题过程中考虑得较多.
总之，认识二项式定理常见解题错误与产生原因，并能针对错因采取相应的措施，则必能激发学生的学习兴趣，促进学生对知识的理解和掌握，同时也能够帮助学生达到“练中求胜”的良好效果.
【关键词】定理；错误；题型；正确应用
二项式定理作为高考内容之一，在每年的对口单招考试中都能考到，题型多为选择题或填空题，偶尔也会出现大题.在二项式定理的习题中，题型繁多，解法灵活多变且很独特，学生较难掌握；又由于排列、组合是二项式定理的基础，而排列、组合的概念又比较抽象，涉及的知识面较广，这给学生学习二项式定理增加了一定的难度，导致学生对二项式定理不理解，所以在解题过程中常常会出现这样或那样的错误.本文将学生在解答二项式定理问题过程中容易出现的错误列举出来，以帮助学生更好地掌握这部分内容，避免类似错误再次发生.
1.用“二项展开式”的错误解题
求二项展开式中的题型有“(x+y)n”型、“(x-y)n”型及二项展开式的“逆用”题型等，这类题目一般为容易题.由于学生“问题转化”能力不强，没有深刻理解二项展开式的公式，没有把握公式的本质，所以解决此类问题往往会出现错误的解法.
例1 求3x-1x24的展开式.
错解 3x-1x24
=C04(3x)4+C14(3x)31x21+
C24(3x)21x22+C34(3x）11x23+C441x24
=x43+4x-2+6x-103+4x-173+x-8.
分析 学生解答此题时忘记了二项式中的“-”号.正确解答此题，只需把3x-1x24改写成3x+-1x24的形式，然后根据二项展开式的格式展开即可.正确的结果为：x43-4x-2+6x-103-4x-173+x-8.
2.用“通项公式”的错误解题
通项公式Tk+1=Cknxn-kyk(说明：按x的降幂排列）中的Tk+1，Ckn，k，n的含义及变化规律，是二项式定理的核心.常见的题型有：利用通项公式确定展开式中的常数项、二项式中指定幂的系数、确定二项式中的相关元素等.不少学生由于对公式本质理解得不够或思考不够严密，导致在解题过程中出现错解或误解.
例2 已知3x+1x2n展开式中第2，3，4项（按前项降幂排列）的系数成等差数列，求项数n.
错解 由于第2，3，4项的系数分别为C2n，C3n，C4n，
∴2C3n=C2n+C4n，解得n=11.
分析 此题的错解在于学生没理解二项式项数的系数与二项式系数之间的内在联系，以至于产生了错解.学生只要掌握了二项式项数的系数与二项式系数的关系，理解它们之间的内在联系，此题便可迎刃而解.
解 由于第2，3，4项的系数分别为C1n，C2n，C3n，
∴2C2n=C1n+C3n，解得n=7.
3.用“条件项”的错误解题
所谓“条件项”，即为题目中“所限定某个条件的项”，根据题目要求只要求出“限定项”即可.由于学生对二项展开式理解不够或思考不严密，往往会出现少算或多算“限定项”，导致解题错误.
例3 求(x2+1)(x-1)6的展开式中x4项的系数.
错解 ∵x4项的系数为C26x4(-1)2,
∴x4项的系数为15.
分析 由于学生对x4的来源有误解，认为(x2+1)中没有x4项，所以就不再考虑这个因式了，只考虑(x-1)6这个因式.关于x4的来源，应从两个因式来综合考虑：
当第一个因式(x2+1)取1时，则第二个因式(x-1)6中必取x4，其系数为C26x4(-1)2=15.
当第一个因式(x2+1)取x2时，则第二个因式(x-1)6中必取x2，其系数为C46x2(-1)4=15.
所以，x4项的系数为30.
4.用“二项式系数”的错误解题
二项式系数与二项式某项的系数是两个截然不同的概念，由于学生对这两个概念理解不透，在解题时往往会混淆这两个概念，以至于出现了错误的解题方法.
例4 在(x-y)7的展开式中，求系数最大的项.
错解 ∵(x-y)7的展开式中有8项，
∴(x-y)7的展开式中中间两项系数最大，即为第4，5项.
∴所求系数最大的项为：第4项-C37x4y3或第5项C47x3y4.
分析 此题解法错误在于混淆了二项式系数与二项式某项系数的概念，正确的解法为：由于第4项的系数为负数，所以第5项的系数最大，所求系数最大的项为：第5项C47x3y4.
说明 由于二项式(x+y)n的二项式系数为C0n，C1n，C2n，…，Cnn，当n为偶数时，中间项Cn2nxn2yn2的二项式系数最大；当n为奇数时，中间项Cn-12nxn+12yn-12和Cn+12nxn-12yn+12的二项式系数最大，二项式系数的奇数项和等于偶数项和，(x+y)n二项式系数的和等于2n.
5.用二项式定理求“近似值”的错误解题
学生在解决此类问题时，由于掌握不准计算的范围，往往使得计算非常复杂和繁琐，最后导致计算结果出错.
例5 求1.0026的近似值,使误差小于0.001.
解 ∵1.0026=(1+0.002)6
=1+C16（0.002）+C26(0.002)2+ C36(0.002)3+…+(0.001)6，
又 ∵从第3项起，以后的项都可以忽略不计，
∴1.0026=(1+0.002)6≈1+6×0.002=1.012.
说明 对于(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+C3nx3+…+Cnnxn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,x4,…,xn项的绝对值都很小，因此在精确度允许的情况下可以忽略不计.因此可以利用近似计算公式(1+x)n≈1+nx来计算，如果精确度要求高一些，可以用公式(1+x)n≈1+nx+n(n-1)2x2来计算.解题时用哪一个公式，主要取决于精确度的要求.
6.用“赋值法”的错误解题
由于二项展开式是恒等式，所以二项式(x+y)n对于任意的x,y都成立.学生在用“赋值法”时，往往找不准待求代数式与已知条件的联系，盲目地找一些数进行代替，导致错误的解法.
例6 已知(3x-1)10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，求a10+a9+a8+…+a2+a1的值.
解 令x=0，则有a0=1.
令x=1，则有a10+a9+a8+…+a1+a0=210.
∴a10+a9+a8+…+a2+a1=210-1=1023.
例7 若(3x+22)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2的值.
解 令x=1，则有(3+22)7=a0+a1+a2+…+a7.
令x=-1，则有
(-3+22)7=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7).
故(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5+a7)2=(-1)7=-1.
说明 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的内在联系，赋予二项式中变量适当的值即可.一般而言，“1，0，-1”这三个特殊值在解题过程中考虑得较多.
总之，认识二项式定理常见解题错误与产生原因，并能针对错因采取相应的措施，则必能激发学生的学习兴趣，促进学生对知识的理解和掌握，同时也能够帮助学生达到“练中求胜”的良好效果.