恒成立问题是数学问题中出现的常见题型，有时是恒成立条件下求变量（参数）的取值范围，有时是恒成立条件下研究函数性质，此类问题不仅涉及知识面广、综合性强，而且情景新颖，能够很好地考查学生的创新能力及探索能力,因此，成为历年高考考查的重要题型.本文举例说明此类问题常用解法.
　　一、 一次函数型
　　给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在［m,n］内恒有f(x)＞0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
　　例1对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+1＞2p+x恒成立的x的取值范围.
　　分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.
　　解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在［-2,2］上恒大于0，故有：
　　二、 二次函数型
　　任何一个一元二次不等式总可以化为ax2+bx+c＞0 (a<0)的形式,由二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象和性质,我们不难得出以下两个结论:
　　（1） ax2+bx+c＞0(a＞0)在R上恒成立的充要条件是Δ<0.
　　（2） ax2+bx+c＞0(a＞0)在区间［m，n］上恒成立的充要条件是
　　例2设f（x）=x2－2mx+2,当x∈［－1,+∞］时,都有f（x）≥a恒成立,求m的取值范围.
　　解：设F(x)= f（x）－m= x2－2mx+2－m,
　　则问题转化为:当x∈［－1,+∞］时, F(x)≥0恒成立.
　　（1） 当Δ=4(m－1)( m+2)＜0即－2＜m＜1时,对一切x∈［－1,+∞］总有F(x)＞0成立.
　　图1（2） 当Δ=4(m－1)( m+2)≥0时,由图1可知,F(x)≥0充要条件是
　　三、 变量分离型
　　若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.
　　例3已知当x∈R时，不等式a+cos2x＜5-4sinx+5a-4恒成立，求实数a的取值范围.
　　分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离.
　　解：原不等式即：4sinx+cos2x＜5a-4-a+5
　　要使上式恒成立，只需5a-4-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题.
　　等式转化成关于t的二次函数类型.
　　四、 根据函数的奇偶性、周期性等性质
　　若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)
　　(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.
　　例4若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数，求α的值.
　　分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题.
　　解：由题得：f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立，
　　∴ sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α)
　　即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
　　2sinx•cosα=-2sinx•sinα
　　∴ sinx(sinα+cosα)=0
　　∵ 对一切x∈R恒成立，∴ 只需sinα+cosα=0.
　　五、 数形结合型
　　若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文