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【摘要】本文记述了“探索勾股数”一课的教学过程.笔者通过参加活动探究课，感悟到深度学习需要问题导向、优化设计的课堂以及学生课外的学习活动来实践，学科的核心素养才能有效提高.
【关键词】勾股数;深度学习;问题导向;优化设计;案例分析
初中阶段，学生的学业负担繁重，长期的模仿式学习容易固化思维，认知停留在浅层，不利于学科核心素养的培养，不利于长远发展.那么，教师如何在平时的教学实践中引导学生进入深度学习？
笔者今年10月参加了一次公开活动课，教师通过开展“探索勾股数”的探究活动，将深度学习的理念贯彻到教学实践中，现将活动整理成文，与同人共享.
一、案例描述
案例是苏教版八年级数学上“勾股定理”的专题活动课“探索勾股数”.
（1）课前导练
A.32=______，42=______，52=______，62=______，72=______，82=______，92=______，102=______，112=______，122=______，132=______，142=______，152=______，162=______，172=______，182=______，192=______，202=______.
B.（a b）2=______，（a-b）2=______，（a b）2-（a-b）2=______.
（2）新课导学
师：美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块古巴比伦泥板，上面印有文书，研究发现文书实际上是一张表格，展示的都是一些较大的勾股数，那么，这些勾股数是如何找到的？由此可以做什么猜想？
生：（思考）
师：猜想：a.任何大于或等于3的正整数都可存在于某组勾股数之中;b.19与其他哪两个数可组成勾股数？28与哪两个呢？c.如何利用一个数找出与其构成勾股数的另两个数？
（3）活动探究
活动1：填表
师：（a b）2-（a-b）2= ？
生1：（a b）2-（a-b）2 =4ab.
师：计算准确.上式中，若令a=m2，b=n2，如何化简？
生2：原式=（m2 n2）2-（m2- n2）2= 4m2n2.
师：不错.若将4m2n2视为（2mn）2，令a=2mn，b= m2- n2，c=m2 n2（m，n为正整数，m>n），完成下表，有何发现？
生3：2mn，m2-n2，m2 n2是一組勾股数.
师：2mn，m2-n2，m2 n2是一组勾股数（m，n为正整数，m>n）.
活动2：填空
在直角三角形中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
（1）若a=3，b=4，则c=______;（2）若a=6，b=8，则c=______;
（3）若a=12，b=16，则c=______;（4）若a=15，c=25，则b=______.
师：填好表格，有何发现？
生：若a，b，c为勾股数，则它们的正整数倍是勾股数.
师：若a，b，c为勾股数，则ma，mb，mc也是勾股数（m为正整数）.
活动3：观察表格
师：观察表格，有何发现？
生1：横向看，c比b大1;纵向看，a是奇数，b是4的整数倍.
师：按照行和列的顺序来观察，回答得很漂亮，还有其他发现吗？
生2：b与c的和是a的平方.
师：太棒了，能深入地观察到数量关系，鼓掌！
师生小结：①a为奇数;②c=b 1;③b是4的正整数倍;④b c=a2.
师：若一个数为19，另两个勾股数是什么？
师生一起计算，将a视为19，则b c=192，c=b 1，得b=180，c=181.
师：若将勾a表示为2n 1，其余两个勾股数是什么？
师生计算，b c=（2n 1）2，c-b=1，得b=2n2 2n，c=2n2 2n 1.
师：2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1（n为正整数）是一组勾股数.
活动4：观察表格
师：吸取活动3的经验，有何发现？
生：横向看，c比b大2;纵向看，a是大于2的偶数.
师：若一个数为28，另两个勾股数是什么？
师生一起计算，将a视为28，则c2-b2=a2，c-b=2，得b=195，c=197.
师：若将a表示为2n（n为大于1的正整数），另两个勾股数是什么？
生：（快速计算）
师：c2-b2=a2=4n2，c=b 2，解得b=n2-1，c= n2 1，从而2n，n2-1，n2 1（n为大于1的正整数）是一组勾股数.
（4）反馈练习
1.一个勾股数是11，其余两个勾股数可以是______.
2.一个勾股数是12，其余两个勾股数可以是______.
3.a，b，c是一组勾股数，试说明ma，mb，mc也是一组勾股数.
4.若一组数中最大的数是2n2 2n 1（n为正整数），其他两个数是______.
二、案例分析与思考
（一）深度学习具备问题导向性
初中阶段，学生需要运用很多定理和公式做题，不少同学只知其然，不知其所以然.学习勾股数时，学生记住了（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13）等勾股数，但勾股数其实有无数组，那么如何构造很少有同学深入思考.本节探究课就是让学生发现问题，深入研究. （二）深度学习注重发展高阶思维
教师在本次探究课上的课程设计别具匠心：导练部分，教师给出1到20以内所有整数的平方;在涉及数的规律性应用时，能够识记20以内整数的平方以及10以內整数的立方，更加利于解题.课前导练要求学生的记忆能力上一个台阶.
在探究部分，教师引导学生先从基础的勾股数开始填空，灵活使用公式去推导出：2mn，m2-n2，m2 n2是一组勾股数.课程中，学生的代数能力拔高一个层次，而这种代数能力是现阶段中考考查的核心之一.得出结论1和2后，教师要求学生进行逻辑分析，勾股数有3个，先以第一个勾股数分奇偶讨论.探索过程中用表格展示数据，锻炼了学生观察以及找规律的能力.学生要会从行和列，甚至从对角线等多角度观察，并能看到内在的数量关系，构造方程来解决问题.教师再让学生类比活动3进行活动4的探究，学生的思维迅速活跃了起来.
（三）深度学习具备探索性
本次听课的有近二十位老师，实际调研了解前，开设过“探索勾股数”课程的没有几位.在一些初中学校，与数学相关的探究活动并不多.究其原因，不少老师认为此种探究课对学生的能力要求较高，往往就此作罢.初中阶段正是学生思维培养的黄金时期，要让学生深度学习，就必须摆脱束缚，让他们多去探索.课堂教学不能停留在表层教学、表演教学，也不是技术层面的教学，而是需要激发学生对学习的渴望，能够使学生积极参与、获得发展的教学.本节课效果是不错的，有些细节也不在预设当中，学生能够严谨地推导、灵活地运用，以及能看到数字内在的数量关系，让听课的教师眼前一亮，看来对学生适当地放手真有意想不到的惊喜.
（四）深度学习不仅是课堂
要想深度学习，课堂是核心，但深度学习也需课外的实践来辅助.学生要学好各类学科知识，不仅是数学学科.在学生的综合能力不断提高后，学生才具备了深度学习的基础.同时，学生要多阅读，了解知识产生的背景以及现状，尤其要带着问题去阅读.这时精心设计的问题导向性课堂会激发学生学习的热情，而且在这个过程中，知识网络穿插应用，学生的综合能力得到了提升.
探究课虽然结束了，笔者却不禁反思：平常的课堂是否能做到问题导向，是否能坚持不断优化设计课堂，课下又该如何引导学生继续学习.教学任重道远！
【参考文献】
[1]秦瑾若，傅钢善.基于深度学习理论的MOOC学习活动设计：以“现代教育技术”课程为例[J].现代教育技术，2017（05）：12-18.
[2]何丽，汤莉，刘军.基于深度学习的MOOC混合式教学设计与实践[J].计算机教育，2019（01）：150-153.
【关键词】勾股数;深度学习;问题导向;优化设计;案例分析
初中阶段，学生的学业负担繁重，长期的模仿式学习容易固化思维，认知停留在浅层，不利于学科核心素养的培养，不利于长远发展.那么，教师如何在平时的教学实践中引导学生进入深度学习？
笔者今年10月参加了一次公开活动课，教师通过开展“探索勾股数”的探究活动，将深度学习的理念贯彻到教学实践中，现将活动整理成文，与同人共享.
一、案例描述
案例是苏教版八年级数学上“勾股定理”的专题活动课“探索勾股数”.
（1）课前导练
A.32=______，42=______，52=______，62=______，72=______，82=______，92=______，102=______，112=______，122=______，132=______，142=______，152=______，162=______，172=______，182=______，192=______，202=______.
B.（a b）2=______，（a-b）2=______，（a b）2-（a-b）2=______.
（2）新课导学
师：美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块古巴比伦泥板，上面印有文书，研究发现文书实际上是一张表格，展示的都是一些较大的勾股数，那么，这些勾股数是如何找到的？由此可以做什么猜想？
生：（思考）
师：猜想：a.任何大于或等于3的正整数都可存在于某组勾股数之中;b.19与其他哪两个数可组成勾股数？28与哪两个呢？c.如何利用一个数找出与其构成勾股数的另两个数？
（3）活动探究
活动1：填表
师：（a b）2-（a-b）2= ？
生1：（a b）2-（a-b）2 =4ab.
师：计算准确.上式中，若令a=m2，b=n2，如何化简？
生2：原式=（m2 n2）2-（m2- n2）2= 4m2n2.
师：不错.若将4m2n2视为（2mn）2，令a=2mn，b= m2- n2，c=m2 n2（m，n为正整数，m>n），完成下表，有何发现？
生3：2mn，m2-n2，m2 n2是一組勾股数.
师：2mn，m2-n2，m2 n2是一组勾股数（m，n为正整数，m>n）.
活动2：填空
在直角三角形中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
（1）若a=3，b=4，则c=______;（2）若a=6，b=8，则c=______;
（3）若a=12，b=16，则c=______;（4）若a=15，c=25，则b=______.
师：填好表格，有何发现？
生：若a，b，c为勾股数，则它们的正整数倍是勾股数.
师：若a，b，c为勾股数，则ma，mb，mc也是勾股数（m为正整数）.
活动3：观察表格
师：观察表格，有何发现？
生1：横向看，c比b大1;纵向看，a是奇数，b是4的整数倍.
师：按照行和列的顺序来观察，回答得很漂亮，还有其他发现吗？
生2：b与c的和是a的平方.
师：太棒了，能深入地观察到数量关系，鼓掌！
师生小结：①a为奇数;②c=b 1;③b是4的正整数倍;④b c=a2.
师：若一个数为19，另两个勾股数是什么？
师生一起计算，将a视为19，则b c=192，c=b 1，得b=180，c=181.
师：若将勾a表示为2n 1，其余两个勾股数是什么？
师生计算，b c=（2n 1）2，c-b=1，得b=2n2 2n，c=2n2 2n 1.
师：2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1（n为正整数）是一组勾股数.
活动4：观察表格
师：吸取活动3的经验，有何发现？
生：横向看，c比b大2;纵向看，a是大于2的偶数.
师：若一个数为28，另两个勾股数是什么？
师生一起计算，将a视为28，则c2-b2=a2，c-b=2，得b=195，c=197.
师：若将a表示为2n（n为大于1的正整数），另两个勾股数是什么？
生：（快速计算）
师：c2-b2=a2=4n2，c=b 2，解得b=n2-1，c= n2 1，从而2n，n2-1，n2 1（n为大于1的正整数）是一组勾股数.
（4）反馈练习
1.一个勾股数是11，其余两个勾股数可以是______.
2.一个勾股数是12，其余两个勾股数可以是______.
3.a，b，c是一组勾股数，试说明ma，mb，mc也是一组勾股数.
4.若一组数中最大的数是2n2 2n 1（n为正整数），其他两个数是______.
二、案例分析与思考
（一）深度学习具备问题导向性
初中阶段，学生需要运用很多定理和公式做题，不少同学只知其然，不知其所以然.学习勾股数时，学生记住了（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13）等勾股数，但勾股数其实有无数组，那么如何构造很少有同学深入思考.本节探究课就是让学生发现问题，深入研究. （二）深度学习注重发展高阶思维
教师在本次探究课上的课程设计别具匠心：导练部分，教师给出1到20以内所有整数的平方;在涉及数的规律性应用时，能够识记20以内整数的平方以及10以內整数的立方，更加利于解题.课前导练要求学生的记忆能力上一个台阶.
在探究部分，教师引导学生先从基础的勾股数开始填空，灵活使用公式去推导出：2mn，m2-n2，m2 n2是一组勾股数.课程中，学生的代数能力拔高一个层次，而这种代数能力是现阶段中考考查的核心之一.得出结论1和2后，教师要求学生进行逻辑分析，勾股数有3个，先以第一个勾股数分奇偶讨论.探索过程中用表格展示数据，锻炼了学生观察以及找规律的能力.学生要会从行和列，甚至从对角线等多角度观察，并能看到内在的数量关系，构造方程来解决问题.教师再让学生类比活动3进行活动4的探究，学生的思维迅速活跃了起来.
（三）深度学习具备探索性
本次听课的有近二十位老师，实际调研了解前，开设过“探索勾股数”课程的没有几位.在一些初中学校，与数学相关的探究活动并不多.究其原因，不少老师认为此种探究课对学生的能力要求较高，往往就此作罢.初中阶段正是学生思维培养的黄金时期，要让学生深度学习，就必须摆脱束缚，让他们多去探索.课堂教学不能停留在表层教学、表演教学，也不是技术层面的教学，而是需要激发学生对学习的渴望，能够使学生积极参与、获得发展的教学.本节课效果是不错的，有些细节也不在预设当中，学生能够严谨地推导、灵活地运用，以及能看到数字内在的数量关系，让听课的教师眼前一亮，看来对学生适当地放手真有意想不到的惊喜.
（四）深度学习不仅是课堂
要想深度学习，课堂是核心，但深度学习也需课外的实践来辅助.学生要学好各类学科知识，不仅是数学学科.在学生的综合能力不断提高后，学生才具备了深度学习的基础.同时，学生要多阅读，了解知识产生的背景以及现状，尤其要带着问题去阅读.这时精心设计的问题导向性课堂会激发学生学习的热情，而且在这个过程中，知识网络穿插应用，学生的综合能力得到了提升.
探究课虽然结束了，笔者却不禁反思：平常的课堂是否能做到问题导向，是否能坚持不断优化设计课堂，课下又该如何引导学生继续学习.教学任重道远！
【参考文献】
[1]秦瑾若，傅钢善.基于深度学习理论的MOOC学习活动设计：以“现代教育技术”课程为例[J].现代教育技术，2017（05）：12-18.
[2]何丽，汤莉，刘军.基于深度学习的MOOC混合式教学设计与实践[J].计算机教育，2019（01）：150-153.