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摘 要：RotaBaxter算子的产生源于对某一类分析和组合问题的研究，后来被广泛用于数学和数学物理的许多领域。本文对一类四维复的幂零左对称代数上的RotaBaxter算子进行了研究，给出了这类代数上的所有权为零的RotaBaxter算子，并以这些算子为基础构造出一系列的左对称代数结构。
关键词：RotaBaxter算子;左对称代数;李代数
中图分类号：0152 文献标识码：A
RotaBaxter Operators on a Four Dimensional Leftsymmetric Algebra
Ding Mengfei Hou Dongping Li Liming
College of Mathematics Yunnan Normal University YunnanKunming 650500
Abstract：RotaBaxter algebras were introduced to solve some analytic and combinatorial problems and have appeared in many fields in mathematics and mathematical physics.In this paper，we give all RotaBaxter operators of weight zero on a four dimensional leftsymmetric algebra.Moreover，interesting leftsymmetric algebra series are obtained from the RotaBaxter operators.
Keywords：RotaBaxter operators;Leftsymmetric algebras;Lie algebras
1 緒论
RotaBaxter算子最早是由G.Baxter在解决一个分析问题的过程中提出来的[1]。此后，很快被应用到其他数学领域，如组合数学[23]，标准shuffle关系的一种推广[4]。在最初的一段时间里，人们主要研究结合代数上的RotaBaxter算子，即RotaBaxter代数。随着研究的深入，RotaBaxter算子很快被推广到其他代数体系上，如李代数，左对称代数[5]。李代数上的权为0的RotaBaxter算子恰好给出经典YangBaxter方程的变形的算子形式[5]。
左对称代数（也称为预李代数），是一类非常重要的非结合代数。左对称代数与很多数学学科和数学物理的许多领域都有密切的关系，如仿射流形[6]、李群上的仿射结构[7]、李代数[8]、经典和量子的YangBaxter方程[910]、量子场论[11]等。文献[12]中，给出所有复数域上的2维左对称代数和部分3维的左对称代数上的权为0的RotaBaxter算子。然而，对于更高维数的左对称代数上的RotaBaxter算子，还知之甚少。
在文献[13]中，给出了四维伪黎曼左对称代数的分类，本文其中一类4维非对称无平移的幂零左对称代数A0，设e1，e2，e3，e4为它的一组基，则：
A0=0000000000000e10-e3
其中矩阵的i，j元为ei与ej的乘积。
本篇论文中，我们主要给出四维复左对称代数A0上的所有权为0的RotaBaxter算子。并且以这些得到的RotaBaxter算子为基础，构造出一系列左对称代数结构。
2 基本概念
定义2.1 设g是数域F上的一个线性空间，在g中定义双线性乘法：（x，y）→[x，y]，满足等式：
[x，y]=-[y，x]（2.1）
[[x，y]，z]+[[y，z]，x]+[[z，x]，y]=0（2.2）
其中x，y，z∈g，则称g是一个李代数。
定义2.2 设A是数域F上的一个线性空间，在A中定义双线性乘法：
（x，y）→x·y
满足等式：
（x，y，z）=（y，x，z），x，y，z∈A（2.3）
其中（x，y，z）=（x·y）·z-x·（y·z），也称为结合子，则称A是一个左对称代数或预李代数。此时，定义李括号：
[x，y]=xy-yx，x，y∈A（2.4） 则（A，[，]）是一个李代数，称为左对称代数A的邻接李代数，记为G（A）。
定义2.3 设A是复数域上的一个左对称代数，称线性变换R：A→A为A上的一个权为零的RotaBaxter算子，如果R满足：
R（x）R（y）=R（R（x）y+xR（y）），x，y∈A（2.5）
性质2.4 设e1，e2，…，en是复数域上的左对称代数A的一组基，eiej=∑nk=1ckijek，1n。设R是A上的线性变换，则R是A上的一个权为零的RotaBaxter算子当且仅当rij，1ncmklrikrjl-clkjrikrlm-ckilrjlrkm=0，1
ncmklrikrjl-clkjrikrlm-ckilrjlrkmem
結合定义2.3，知道结论成立。注意：此时我们也记R=（rij）。
3 四维左对称代数A0上的RotaBaxter算子
命题3.1 四维复左对称代数A0上的线性变换R，其中：
R（ei）=∑4j=1rijej，1
4（3.1）
则R是A0上的一个权为0的RotaBaxter算子当且仅当rij，1
n满足以下方程：
r12=r14=r34（3.2）
r24r22-r24r11=0（3.3）
r224+r24r13=0（3.4）
r24r32=0（3.5）
r24r42+r24r31=0（3.6）
r24r44-r24r33=0（3.7）
（r44+r22）r11-r24r31-r44r22=0（3.8）
（r44+r22）r13-r24r33+r44r24=0（3.9）
r44r32-r32r11=0（3.10）
r32r13=0（3.11）
r42r11-2r44r31-r44r42=0（3.12）
r44r32=0（3.13）
r244+r42r13-2r44r33=0（3.14）
证明 由性质2.4知：
（1）R（e1）R（e1）-R（R（e1）e1+e1R（e1））=r14r12e1-r214e3=0，可得r14=0
（2）R（e3）R（e3）-R（R（e3）e3+e3R（e3））=r34r32e1-r234e3=0，可得r34=0
（3）R（e4）R（e1）-R（R（e4）e1+e4R（e1））=（r12r11-r14r31-r44r12）e1-（r212-r14r32）e2+（r44r14+r12r13-r14r33）e3+（r12r14-r14r34）e4
=0，联立r14=0可得r12=0
（4）R（e2）R（e2）-R（R（e2）e2+e2R（e2））=（r24r22-r24r11）e1-r24r12e2-（r224+r24r13）e3-r24r14e4=0，联立r12=r14=0
可得r24r22-r24r11=0r224+r24r13=0
如此，我们证明了方程（3.2），（3.3），（3.4）成立，同理也可以证明其余方程成立。 定理3.2 四维复左对称代数A0上的权为0的RotaBaxter算子R，R（ei）=∑4j=1rijej，1
4，記为R=（rij），有如下几类：
R1=r110r130r21r11r23-r13-r211r130-r110r41r211r13r43-r11（r13≠0）
R2=0000r21r22r230r31r32r330r41r42r430（r32≠0）
R3=r110r130r210r230r310r330r410r430（r13≠0）
R4=r11000r21r22r230r310r330r41r42r432r33（r44+r22）r11-r44r22=0r42r11-2r44r31-r44r42=0r33≠0
R5=r11000r210r230r310r330r410r430（r11≠0）
R6=0000r21r22r230r310r330r41r42r430
证明：
（1）当r24≠0时，联立方程（3.2）—（3.14）可得：
r12=r14=r32=r34=0（3.15）
r11=r22（3.16）
r13=-r24（3.17）
r31=-r42（3.18）
r33=r44（3.19）
r222+r24r42=0（3.20）
r24（r11+r33）=0（3.21）
由（3.20）得r42=r211r13;
由（3.21）得r11=-r33。
解得R1。
（2）当r24=0时，联立方程（3.2）-（3.14）可得：
r12=r14=r34=0（3.22）
（r44+r22）r11-r44r22=0（3.23）
（r44+r22）r13=0（3.24）
（r44-r11）r32=0（3.25）
r32r13=0（3.26）
r42r11-2r44r31-r44r42=0（3.27）
r44r32=0（3.28）
r244+r42r13-2r44r33=0（3.29）
①若r24=0，r32≠0则r12=r14=r34=r13=r11=r44=0，解得R2。
②当r24=r32=0，r13≠0，解得R3。
③当r24=r32=r13=0，r44≠0，解得R4。
④同理当r24=r32=r13=r44=0，解得R5和R6。定理得证。
4 由四维左对称代数A0上的RotaBaxter算子构造左对称代数链
性质4.1设A，·是一个左对称代数，R是A，·的一个RotaBaxter算子，在线性空间A上定义以下乘法：
x*y=[R（x），y]=R（x）·y-y·R（x），x，y∈A（4.1）
则（A，*）也是一个左对称代数，且R也是（A，·）上的一个RotaBaxter算子。
我们称左对称代数（A，*）为左对称代数（A，·）的与RotaBaxter算子R相关的第一重代数。由性质4.1可知，从左对称代数（A，·）和（A，·）的一个RotaBaxter算子R出发，我们可以在线性空间A上定义一个左对称代数的系列（A，R，*k）（k1），其中： x*1y=R（x）·y-y·R（x）（4.2）
x*k+1y=R（x）*ky-y*kR（x），x，y∈A（4.3）
稱（A，R，*k）为（A，·）的第k重代数。
性质4.2[12] 设（A，·）是一个左对称代数，R是（A，·）上的一个RotaBaxter算子，（A，R，*k）为（A，·）的第k重代数，则：
x*k+1y=∑kl=0Clk[Rk+1-l（x），Rl（y）]=∑kl=0Rk+1-l（x）·Rk（y）-Rk（y）·Rk+1-l（x），x，y∈A（4.4）
[x，y]k=∑kl=0Clk[Rk-l（x），Rl（y）]=∑kl=0clkRk-l（x）·Rk（y）-Rk（y）·Rk-l（x），x，y∈A（4.5）
定理4.3 左对称代数A0上和它的RotaBaxter算子出发，得到的左对称代数系列有如下：
（1）（A0，R1，*1）=00000-r13e10-r11e100000-r11e10-r211r13e1（r13≠0），（A0，R1，*k）k2为零代数。
（2）（A0，R2，*1）=0000000-r22e1000-r32e1000-r42e1（r32≠0）
（A0，R2，*2）=0000000-（r222+r23r32）e1000-（r22r32+r32r33）e1000-（r22r42+r32r43）e1（r32≠0）
（A0，R2，*3）=0000000-（r322+2r22r23r32+r23r32r33）e1000-（r222r32+r22r32r33+r23r232+r32r233）e1000-（r222r42+r22r32r43+r23r32r42+r32r33r43）e1（r32≠0）
（3）（A0，R3，*k）k1为零代数。
（4）（A0，R4，*1）=0000000-r22e1000002r33e10-r42e1，（A0，R4，*k+1）k1=0000000f（r22，r33）e100000gr22，r33e10h（r22，r33，r42）e1
其中，f（r22，r33）=-r22∑kl=0clkrl22（2r33）k-l，k1，g（r22，r33）=2r33∑kl=0clkrl22（2r33）k-l，k1，h（r22，r33，r42）=-r42∑kl=0clkrl22（2r33）k-l，k1，（r33≠0）。
（5）（A0，R5，*k）k1为零代数。
（6）（A0，R6，*k）k1=0000000-r22ke10000000-r22r42k-1e1
证明 我们不妨证明第六种情形，令R=R6，则有：
R（e1）=0
R（e2）=r21e1+r22e2+r23e3
R（e3）=r31e1+r33e3
R（e4）=r41e1+r42e2+r43e3
由性质4.2可以得到：
e2*1e4=-r22e1，e4*1e4=-r42e1
其余：
ei*ej=0
所以（A0，R6，*1）成立。
假设（A0，R6，*k-1）成立，
e2*ke4=R（e2）*k-1e4-e4*k-1R（e2）
=-r22ke1，e4*ke4
=-r22r42k-1e1
结论（6）成立。同理，可以证明其他情形的结论。
参考文献：
[1]Baxter G，An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity，Pacific J.Math.10（1960）：731742.
关键词：RotaBaxter算子;左对称代数;李代数
中图分类号：0152 文献标识码：A
RotaBaxter Operators on a Four Dimensional Leftsymmetric Algebra
Ding Mengfei Hou Dongping Li Liming
College of Mathematics Yunnan Normal University YunnanKunming 650500
Abstract：RotaBaxter algebras were introduced to solve some analytic and combinatorial problems and have appeared in many fields in mathematics and mathematical physics.In this paper，we give all RotaBaxter operators of weight zero on a four dimensional leftsymmetric algebra.Moreover，interesting leftsymmetric algebra series are obtained from the RotaBaxter operators.
Keywords：RotaBaxter operators;Leftsymmetric algebras;Lie algebras
1 緒论
RotaBaxter算子最早是由G.Baxter在解决一个分析问题的过程中提出来的[1]。此后，很快被应用到其他数学领域，如组合数学[23]，标准shuffle关系的一种推广[4]。在最初的一段时间里，人们主要研究结合代数上的RotaBaxter算子，即RotaBaxter代数。随着研究的深入，RotaBaxter算子很快被推广到其他代数体系上，如李代数，左对称代数[5]。李代数上的权为0的RotaBaxter算子恰好给出经典YangBaxter方程的变形的算子形式[5]。
左对称代数（也称为预李代数），是一类非常重要的非结合代数。左对称代数与很多数学学科和数学物理的许多领域都有密切的关系，如仿射流形[6]、李群上的仿射结构[7]、李代数[8]、经典和量子的YangBaxter方程[910]、量子场论[11]等。文献[12]中，给出所有复数域上的2维左对称代数和部分3维的左对称代数上的权为0的RotaBaxter算子。然而，对于更高维数的左对称代数上的RotaBaxter算子，还知之甚少。
在文献[13]中，给出了四维伪黎曼左对称代数的分类，本文其中一类4维非对称无平移的幂零左对称代数A0，设e1，e2，e3，e4为它的一组基，则：
A0=0000000000000e10-e3
其中矩阵的i，j元为ei与ej的乘积。
本篇论文中，我们主要给出四维复左对称代数A0上的所有权为0的RotaBaxter算子。并且以这些得到的RotaBaxter算子为基础，构造出一系列左对称代数结构。
2 基本概念
定义2.1 设g是数域F上的一个线性空间，在g中定义双线性乘法：（x，y）→[x，y]，满足等式：
[x，y]=-[y，x]（2.1）
[[x，y]，z]+[[y，z]，x]+[[z，x]，y]=0（2.2）
其中x，y，z∈g，则称g是一个李代数。
定义2.2 设A是数域F上的一个线性空间，在A中定义双线性乘法：
（x，y）→x·y
满足等式：
（x，y，z）=（y，x，z），x，y，z∈A（2.3）
其中（x，y，z）=（x·y）·z-x·（y·z），也称为结合子，则称A是一个左对称代数或预李代数。此时，定义李括号：
[x，y]=xy-yx，x，y∈A（2.4） 则（A，[，]）是一个李代数，称为左对称代数A的邻接李代数，记为G（A）。
定义2.3 设A是复数域上的一个左对称代数，称线性变换R：A→A为A上的一个权为零的RotaBaxter算子，如果R满足：
R（x）R（y）=R（R（x）y+xR（y）），x，y∈A（2.5）
性质2.4 设e1，e2，…，en是复数域上的左对称代数A的一组基，eiej=∑nk=1ckijek，1n。设R是A上的线性变换，则R是A上的一个权为零的RotaBaxter算子当且仅当rij，1ncmklrikrjl-clkjrikrlm-ckilrjlrkm=0，1
ncmklrikrjl-clkjrikrlm-ckilrjlrkmem
結合定义2.3，知道结论成立。注意：此时我们也记R=（rij）。
3 四维左对称代数A0上的RotaBaxter算子
命题3.1 四维复左对称代数A0上的线性变换R，其中：
R（ei）=∑4j=1rijej，1
4（3.1）
则R是A0上的一个权为0的RotaBaxter算子当且仅当rij，1
n满足以下方程：
r12=r14=r34（3.2）
r24r22-r24r11=0（3.3）
r224+r24r13=0（3.4）
r24r32=0（3.5）
r24r42+r24r31=0（3.6）
r24r44-r24r33=0（3.7）
（r44+r22）r11-r24r31-r44r22=0（3.8）
（r44+r22）r13-r24r33+r44r24=0（3.9）
r44r32-r32r11=0（3.10）
r32r13=0（3.11）
r42r11-2r44r31-r44r42=0（3.12）
r44r32=0（3.13）
r244+r42r13-2r44r33=0（3.14）
证明 由性质2.4知：
（1）R（e1）R（e1）-R（R（e1）e1+e1R（e1））=r14r12e1-r214e3=0，可得r14=0
（2）R（e3）R（e3）-R（R（e3）e3+e3R（e3））=r34r32e1-r234e3=0，可得r34=0
（3）R（e4）R（e1）-R（R（e4）e1+e4R（e1））=（r12r11-r14r31-r44r12）e1-（r212-r14r32）e2+（r44r14+r12r13-r14r33）e3+（r12r14-r14r34）e4
=0，联立r14=0可得r12=0
（4）R（e2）R（e2）-R（R（e2）e2+e2R（e2））=（r24r22-r24r11）e1-r24r12e2-（r224+r24r13）e3-r24r14e4=0，联立r12=r14=0
可得r24r22-r24r11=0r224+r24r13=0
如此，我们证明了方程（3.2），（3.3），（3.4）成立，同理也可以证明其余方程成立。 定理3.2 四维复左对称代数A0上的权为0的RotaBaxter算子R，R（ei）=∑4j=1rijej，1
4，記为R=（rij），有如下几类：
R1=r110r130r21r11r23-r13-r211r130-r110r41r211r13r43-r11（r13≠0）
R2=0000r21r22r230r31r32r330r41r42r430（r32≠0）
R3=r110r130r210r230r310r330r410r430（r13≠0）
R4=r11000r21r22r230r310r330r41r42r432r33（r44+r22）r11-r44r22=0r42r11-2r44r31-r44r42=0r33≠0
R5=r11000r210r230r310r330r410r430（r11≠0）
R6=0000r21r22r230r310r330r41r42r430
证明：
（1）当r24≠0时，联立方程（3.2）—（3.14）可得：
r12=r14=r32=r34=0（3.15）
r11=r22（3.16）
r13=-r24（3.17）
r31=-r42（3.18）
r33=r44（3.19）
r222+r24r42=0（3.20）
r24（r11+r33）=0（3.21）
由（3.20）得r42=r211r13;
由（3.21）得r11=-r33。
解得R1。
（2）当r24=0时，联立方程（3.2）-（3.14）可得：
r12=r14=r34=0（3.22）
（r44+r22）r11-r44r22=0（3.23）
（r44+r22）r13=0（3.24）
（r44-r11）r32=0（3.25）
r32r13=0（3.26）
r42r11-2r44r31-r44r42=0（3.27）
r44r32=0（3.28）
r244+r42r13-2r44r33=0（3.29）
①若r24=0，r32≠0则r12=r14=r34=r13=r11=r44=0，解得R2。
②当r24=r32=0，r13≠0，解得R3。
③当r24=r32=r13=0，r44≠0，解得R4。
④同理当r24=r32=r13=r44=0，解得R5和R6。定理得证。
4 由四维左对称代数A0上的RotaBaxter算子构造左对称代数链
性质4.1设A，·是一个左对称代数，R是A，·的一个RotaBaxter算子，在线性空间A上定义以下乘法：
x*y=[R（x），y]=R（x）·y-y·R（x），x，y∈A（4.1）
则（A，*）也是一个左对称代数，且R也是（A，·）上的一个RotaBaxter算子。
我们称左对称代数（A，*）为左对称代数（A，·）的与RotaBaxter算子R相关的第一重代数。由性质4.1可知，从左对称代数（A，·）和（A，·）的一个RotaBaxter算子R出发，我们可以在线性空间A上定义一个左对称代数的系列（A，R，*k）（k1），其中： x*1y=R（x）·y-y·R（x）（4.2）
x*k+1y=R（x）*ky-y*kR（x），x，y∈A（4.3）
稱（A，R，*k）为（A，·）的第k重代数。
性质4.2[12] 设（A，·）是一个左对称代数，R是（A，·）上的一个RotaBaxter算子，（A，R，*k）为（A，·）的第k重代数，则：
x*k+1y=∑kl=0Clk[Rk+1-l（x），Rl（y）]=∑kl=0Rk+1-l（x）·Rk（y）-Rk（y）·Rk+1-l（x），x，y∈A（4.4）
[x，y]k=∑kl=0Clk[Rk-l（x），Rl（y）]=∑kl=0clkRk-l（x）·Rk（y）-Rk（y）·Rk-l（x），x，y∈A（4.5）
定理4.3 左对称代数A0上和它的RotaBaxter算子出发，得到的左对称代数系列有如下：
（1）（A0，R1，*1）=00000-r13e10-r11e100000-r11e10-r211r13e1（r13≠0），（A0，R1，*k）k2为零代数。
（2）（A0，R2，*1）=0000000-r22e1000-r32e1000-r42e1（r32≠0）
（A0，R2，*2）=0000000-（r222+r23r32）e1000-（r22r32+r32r33）e1000-（r22r42+r32r43）e1（r32≠0）
（A0，R2，*3）=0000000-（r322+2r22r23r32+r23r32r33）e1000-（r222r32+r22r32r33+r23r232+r32r233）e1000-（r222r42+r22r32r43+r23r32r42+r32r33r43）e1（r32≠0）
（3）（A0，R3，*k）k1为零代数。
（4）（A0，R4，*1）=0000000-r22e1000002r33e10-r42e1，（A0，R4，*k+1）k1=0000000f（r22，r33）e100000gr22，r33e10h（r22，r33，r42）e1
其中，f（r22，r33）=-r22∑kl=0clkrl22（2r33）k-l，k1，g（r22，r33）=2r33∑kl=0clkrl22（2r33）k-l，k1，h（r22，r33，r42）=-r42∑kl=0clkrl22（2r33）k-l，k1，（r33≠0）。
（5）（A0，R5，*k）k1为零代数。
（6）（A0，R6，*k）k1=0000000-r22ke10000000-r22r42k-1e1
证明 我们不妨证明第六种情形，令R=R6，则有：
R（e1）=0
R（e2）=r21e1+r22e2+r23e3
R（e3）=r31e1+r33e3
R（e4）=r41e1+r42e2+r43e3
由性质4.2可以得到：
e2*1e4=-r22e1，e4*1e4=-r42e1
其余：
ei*ej=0
所以（A0，R6，*1）成立。
假设（A0，R6，*k-1）成立，
e2*ke4=R（e2）*k-1e4-e4*k-1R（e2）
=-r22ke1，e4*ke4
=-r22r42k-1e1
结论（6）成立。同理，可以证明其他情形的结论。
参考文献：
[1]Baxter G，An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity，Pacific J.Math.10（1960）：731742.