立体几何研究的是立体图形,是对空间点､线､面､体的各种位置关系的讨论和研究. 常常以正方体,长方体,四面体,棱柱､棱锥等简单的几何体为载体,考查空间中的线线关系､线面关系､面面关系及其相关量的计算与证明. 如果掌握这些基本图形,那么,我们就会发现,有相当多的题目实际上就是以这些图形为背景的,我们完全可以从这些基本图形中进行联想构造,从而解决问题. 本文就构造模型解决几何问题进行一些简单的举例说明. 常见的模型有正方体模型､长方体模型､四面体模型等.
　　 1. 构造正方体模型解题
　　 当已知问题没有给出具体的图形,只是给出了相关点､线､面的关系(如平行､垂直等),要判断某些元素的位置关系时,通常可考虑构造正方体模型,把这些线､面变成正方体中的线段或某一个面,进而加以解决.
　　 例1 设a,b,c是两两异面的三条直线,已知a⊥b,且d是a,b的公垂线段,如果c⊥a,那么c与d的位置关系是_______.
　　 A. 相交 B. 平行
　　 C. 异面 D. 异面或平行
　　 分析 构造正方体,如图1,在图中,利用正方体特有的线面垂直关系很容易判断出c与d的位置关系是异面或平行.
　　 注 可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系,如异面､平行､相交.
　　 例2 正三棱锥S-ABC侧棱与底面边长相等,若E,F分别为SC,AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于_______.
　　 分析 此正三棱锥即为正四面体,所以可构造一正方体,将此正三棱锥转移到正方体中,如图2,易得EF与SA所成的角.
　　 2. 构造长方体模型解题
　　 例3 AB,CD,EF是三条两两异面且两两垂直的异面直线,BC是AB,CD的公垂线,FA是EF,AB的公垂线,BC = 3,DE = 4,FA = 5,则线段AD的长是_______.
　　 A. 5B. 5C. 6D.6
　　 分析 构造长方体,如图3,AD为长方体体对角线,长为5 .
　　 例4 在球面上有四个点P,A,B,C,如果PA,PB,PC两两互相垂直且PA = PB = PC = a,求球的表面积.
　　 分析 构造正方体,以P为顶点的三条棱 PA,PB,PC两两垂直,球O就是这个正方体的外接球,对角线PD就是球O的直径,设半径等于r,则有2r = =a,得r =.
　　 练习 过球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA,PB,PC,且PA =,PB =,PC =,求球O的半径.
　　 注 从同一点出发的三条棱两两互相垂直,其长度分别为a,b,c,就可以构造长方体模型,外接球的直径就是对角线的长,所以2r =.
　　 3. 构造正四面体模型解题
　　 例5 过异面直线外一定点,作直线与两条异面直线都成60°角,这样的直线最多能做_______条.
　　 A. 2条 B. 3条
　　 C. 4条 D. 无数条
　　 分析 构造一个数学模型:边长和对角线都相等的空间四面体ABCD,如图4所示,则AB与CD异面,且AC与AB,CD相交成60°角,BC与AB,CD相交成60°角,AD与AB,CD相交成60°角,BD与AB,CD也相交成60°角,在空间找一定点P,过点P作AC,BC,AD,BD的平行线l1,l2,l3,l4,则它们都符合要求.
　　 故应选C.
　　 综上所述,善于借助或构造实物模型,一方面可以减少直觉思维造成的错误,另一方面可以帮助学生从平面几何的局限中走出来,建立空间图形的位置关系,特别是对于初学者提高空间想象能力,展开理论论证,是十分有利的.
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”