从一道高考题看圆锥曲线的外切菱形的性质

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  继续研究发现,不论a如何变化,直线1xy+=均为椭圆E的切线,进而得出,四条直线1xy±=±的四个交点所构成的正方形恰好与椭圆外切.于是,若定义:四条边均与椭圆相切的平行四边形,称为椭圆的外切平行四边形;四条边所在直线均与双曲线相切的平行四边形,称为双曲线的外切平行四边形.则结论可推广为如下定理:
  (Ⅲ)椭圆的外切菱形的对角线在坐标轴上,边故其外切正方形只有唯一一个.
  (Ⅲ)双曲线的外切菱形的对角线在坐标轴上,故其外切正方形只有唯一一个.
  综上,只有当BD在y轴上时,才使椭圆的外切平行四边形ABCDN为菱形,即椭圆的外切菱形的对角线必在坐标轴上.因此当其为正方形时,四条边所在直线的倾斜度必为45°或135°,即椭圆的外切正方形只有唯一一个,且为(Ⅱ)中所证之外切正方形.
  定理1的结论得证,定理2的证明与以上类似.另外,焦点在y轴上的椭圆和双曲线的外切菱形同样有类似的性质,请读者自行证明之.
  对高考题的每一次深入研究,都能让我们更深刻地认识数学的本质.数学教育者应当不懈追求,研究出更多更好的成果,不断提升数学教育的高度,更好地教书育人.
  参考文献
  [1]袁俊琍,熊光汉.椭圆的外切平行四边形及其性质.中学数学月刊,2006(5):26-28
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