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一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.已知F1(－2,0),F2(2,0)，动点Ｍ满足|MF1|+|MF2|=4，则动点Ｍ的轨迹是 ．
2. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，则此椭圆的方程为 ．
3. 一动圆与已知圆O1：(x+3)2+y2=1外切，与圆O2:(x－3)2+y2=81内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
4. 设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为Ｂ，若左焦点F1到直线AB的距离是77OB，则椭圆的离心率为 ．
5. 设Ｐ是椭圆x225+y216=1上的一点，F1,F2是它的两焦点，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为 ．
6. 已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点Ｂ在椭圆x225+y29=1上，则sinA+sinCsinB＝ ．
7. 若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y－1=0交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为22，则nm= ．
8.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的左右焦点，Ｐ为椭圆上的一点，已知△PF1F2是一个直角三角形，且PF1>PF2，求PF1PF2的值 ．
9.点Ａ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点，过Ａ作斜率为１的直线交椭圆与Ｂ点，点P(0,1)满足BP∥x轴，AB•AP=9．则椭圆的方程为 ．
10. M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是 ．
11. 设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 ．
12.已知函数f(x)=(x－2007)(x+2008)的图象与x轴，y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是 ．
13.已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=55.过顶点A(0,b) 作AM⊥l,垂足为M，则直线FM的斜率等于 ．
14.若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点(1,12)作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知A={(x,y)|x2+y2－4x－14y+45=0}，B={(x,y)|y=|x－m|+7}
（1） 若A∩B≠，求m的取值范围；
（2） 若点P的坐标为（m，7）且P在圆内，集合A与B表示的点集的交点为M，N．求△PMN的面积的最大值．
16.已知圆M:2x2+2y2－8x－8y－1=0和直线l:x+y－9=0，过直线l上一点A作∠CAB,使∠CAB=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上.
求点A的横坐标取值范围.
17. 设椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点（0，4），离心率为35
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.
18.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若ED=6DF，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
19.已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
20.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-13.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．线段F1F2
2．x232+y216=1或y232+x216=1
3．x225+y216=1
4．12
5．1633
6．54
7．2
8．72或2
9．x212+y24=1
10．相离
11．(2,+∞)
12．(0,1)
13．12
14．x25+y24=1
15．解：（1）等式x2+y2－4x－14y+45=0变形为：(x－2)2+(y－7)2=8，
∴集合A表示以（2,7）为圆心，半径为22的圆．
方程y=|x-m|+7=x-m+7 x≥m-x+m+7 x 这两条射线的倾斜角分别是45°,135°，∴这两条射线是相互垂直的.
考察以下两种极端情形：
当射线y=x－m+7(x≥m)与圆：(x－2)2+(y－7)2=8相切时，
利用圆心到直线的距离等于半径长，
得：|2－7－m+7|2=22，m＝－2或6（舍去6）,
∴m＝－2．
当射线y=－x+m+7(x 由题意知：－2≤m≤6时，A∩B≠．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设x1m，
将y=|x－m|+7代入圆的方程得：
(x－2)2+(x－m)2=8,
2x2－2(m+2)x+m2－4=0
x1+x2=m+2,x1x2=12(m2－4).
设△PMN的面积为S，注意PM，PN的倾斜角，
S=12•2(m－x1)•2(x2－m)
=m(x1+x2)－x1x2－m2
=m•(m+2)－12(m2－4)－m2
=－12m2+2m+2
=－12(m－2)2+4，
∴当m＝2∈［2-22,2+22］时，Smax=4，点P的坐标为（2,7）．
16．解：将圆的方程配方为：(x－2)2+(y－2)2=172，在三角形AMC中，|MA|sin∠MCA=172sin45°，
|MA|=17sin∠MCA，当∠MCA=90°时，|MA|取最大值17，故A(x,y)满足x+y－9=0,且(x－2)2+(y－2)2=17，由以上两式解得x=3或6，所以点A的横坐标的取值范围是3≤x≤6.
17．解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得16b2=1 ∴b=4又e=ca=35 得a2－b2a2=925即1－16a2=925， ∴a=5 ∴C的方程为x225+y216=1.
（ Ⅱ）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x－3)，
设直线与Ｃ的交点为Ａ(x1,y1)，Ｂ(x2,y2)，将直线方程y=45(x－3)代入Ｃ的方程，
得x225+(x－3)225=1，即x2－3x－8=0，
∴ AB的中点坐标x=x1+x22=32， y=y1+y22=25(x1+x2－6)=－65，即中点为(32,－65).
18．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为x24+y2=1，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx(k>0)．
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1 且x1，x2满足方程(1+4k2)x2=4，
故x2=－x1=21+4k2．①
由ED=6DF知x0－x1=6(x2－x0)，
得x0=17(6x2+x1)=57x2=1071+4k2；
由D在AB上知x0+2kx0=2，得x0=21+2k．
所以21+2k=1071+4k2，化简得24k2－25k+6=0，解得k=23或k=38．
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为h1=|x1+2kx1－2|5=2(1+2k+1+4k2)5(1+4k2)，
h2=|x2+2kx2－2|5=2(1+2k－1+4k2)5(1+4k2)．
又|AB|=22+1=5，所以四边形AEBF的面积为
S=12|AB|(h1+h2)=12•5•4(1+2k)5(1+4k2)=2(1+2k)1+4k2=21+4k2+4k1+4k2≤22，
当2k=1，即当k=12时，上式取等号．所以S的最大值为22．
解法二：由题设，|BO|=1，|AO|=2．设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2>0，y2=－y1>0，
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2 =(x2+2y2)2=x22+4y22+4x2y2≤2(x22+4y22)=22，
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为22．
19．解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y=－x+n．由x2+3y2=4，y=－x+n 得4x2－6nx+3n2－4=0．
因为A，C在椭圆上，所以Δ=－12n2+64>0，解得－433 设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=3n2，x1x2=3n2－44，y1=－x1+n，y2=－x2+n．所以y1+y2=n2．所以AC的中点坐标为(3n4，n4)．
由四边形ABCD为菱形可知，点(3n4，n4)在直线y=x+1上， 所以n4=3n4+1，解得n=－2．所以直线AC的方程为y=－x－2，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积S=32|AC|2．
由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=－3n2+162，
所以S=34(－3n2+16)(－433 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值43．
20．解：（Ⅰ）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B的坐标为(1,-1).
设点P的坐标为(x,y),
由题意得y-1x+1•y+1x-1=-13,
化简得x2+3y2=4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1)
（Ⅱ）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)
则12|PA|•|PB|sin∠APB=12|PM|•|PN|sin∠MPN.
因为sin∠APB=sin∠MPN,
所以|PA||PM|=|PN||PB|,
所以|x0+1||3-x0|=|3-x0||x0-1|,
即(3-x0)2=|x20-1|，
解得x0=53.
因为x20+3y20=4，
所以y0=±339．
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，
此时点P的坐标为(53,±339).
（作者：严循跃，江苏省如皋中学)
1.已知F1(－2,0),F2(2,0)，动点Ｍ满足|MF1|+|MF2|=4，则动点Ｍ的轨迹是 ．
2. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，则此椭圆的方程为 ．
3. 一动圆与已知圆O1：(x+3)2+y2=1外切，与圆O2:(x－3)2+y2=81内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
4. 设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为Ｂ，若左焦点F1到直线AB的距离是77OB，则椭圆的离心率为 ．
5. 设Ｐ是椭圆x225+y216=1上的一点，F1,F2是它的两焦点，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为 ．
6. 已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点Ｂ在椭圆x225+y29=1上，则sinA+sinCsinB＝ ．
7. 若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y－1=0交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为22，则nm= ．
8.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的左右焦点，Ｐ为椭圆上的一点，已知△PF1F2是一个直角三角形，且PF1>PF2，求PF1PF2的值 ．
9.点Ａ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点，过Ａ作斜率为１的直线交椭圆与Ｂ点，点P(0,1)满足BP∥x轴，AB•AP=9．则椭圆的方程为 ．
10. M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是 ．
11. 设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 ．
12.已知函数f(x)=(x－2007)(x+2008)的图象与x轴，y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是 ．
13.已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=55.过顶点A(0,b) 作AM⊥l,垂足为M，则直线FM的斜率等于 ．
14.若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点(1,12)作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知A={(x,y)|x2+y2－4x－14y+45=0}，B={(x,y)|y=|x－m|+7}
（1） 若A∩B≠，求m的取值范围；
（2） 若点P的坐标为（m，7）且P在圆内，集合A与B表示的点集的交点为M，N．求△PMN的面积的最大值．
16.已知圆M:2x2+2y2－8x－8y－1=0和直线l:x+y－9=0，过直线l上一点A作∠CAB,使∠CAB=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上.
求点A的横坐标取值范围.
17. 设椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点（0，4），离心率为35
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.
18.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若ED=6DF，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
19.已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
20.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-13.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．线段F1F2
2．x232+y216=1或y232+x216=1
3．x225+y216=1
4．12
5．1633
6．54
7．2
8．72或2
9．x212+y24=1
10．相离
11．(2,+∞)
12．(0,1)
13．12
14．x25+y24=1
15．解：（1）等式x2+y2－4x－14y+45=0变形为：(x－2)2+(y－7)2=8，
∴集合A表示以（2,7）为圆心，半径为22的圆．
方程y=|x-m|+7=x-m+7 x≥m-x+m+7 x
考察以下两种极端情形：
当射线y=x－m+7(x≥m)与圆：(x－2)2+(y－7)2=8相切时，
利用圆心到直线的距离等于半径长，
得：|2－7－m+7|2=22，m＝－2或6（舍去6）,
∴m＝－2．
当射线y=－x+m+7(x
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设x1
将y=|x－m|+7代入圆的方程得：
(x－2)2+(x－m)2=8,
2x2－2(m+2)x+m2－4=0
x1+x2=m+2,x1x2=12(m2－4).
设△PMN的面积为S，注意PM，PN的倾斜角，
S=12•2(m－x1)•2(x2－m)
=m(x1+x2)－x1x2－m2
=m•(m+2)－12(m2－4)－m2
=－12m2+2m+2
=－12(m－2)2+4，
∴当m＝2∈［2-22,2+22］时，Smax=4，点P的坐标为（2,7）．
16．解：将圆的方程配方为：(x－2)2+(y－2)2=172，在三角形AMC中，|MA|sin∠MCA=172sin45°，
|MA|=17sin∠MCA，当∠MCA=90°时，|MA|取最大值17，故A(x,y)满足x+y－9=0,且(x－2)2+(y－2)2=17，由以上两式解得x=3或6，所以点A的横坐标的取值范围是3≤x≤6.
17．解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得16b2=1 ∴b=4又e=ca=35 得a2－b2a2=925即1－16a2=925， ∴a=5 ∴C的方程为x225+y216=1.
（ Ⅱ）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x－3)，
设直线与Ｃ的交点为Ａ(x1,y1)，Ｂ(x2,y2)，将直线方程y=45(x－3)代入Ｃ的方程，
得x225+(x－3)225=1，即x2－3x－8=0，
∴ AB的中点坐标x=x1+x22=32， y=y1+y22=25(x1+x2－6)=－65，即中点为(32,－65).
18．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为x24+y2=1，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx(k>0)．
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1
故x2=－x1=21+4k2．①
由ED=6DF知x0－x1=6(x2－x0)，
得x0=17(6x2+x1)=57x2=1071+4k2；
由D在AB上知x0+2kx0=2，得x0=21+2k．
所以21+2k=1071+4k2，化简得24k2－25k+6=0，解得k=23或k=38．
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为h1=|x1+2kx1－2|5=2(1+2k+1+4k2)5(1+4k2)，
h2=|x2+2kx2－2|5=2(1+2k－1+4k2)5(1+4k2)．
又|AB|=22+1=5，所以四边形AEBF的面积为
S=12|AB|(h1+h2)=12•5•4(1+2k)5(1+4k2)=2(1+2k)1+4k2=21+4k2+4k1+4k2≤22，
当2k=1，即当k=12时，上式取等号．所以S的最大值为22．
解法二：由题设，|BO|=1，|AO|=2．设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2>0，y2=－y1>0，
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2 =(x2+2y2)2=x22+4y22+4x2y2≤2(x22+4y22)=22，
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为22．
19．解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y=－x+n．由x2+3y2=4，y=－x+n 得4x2－6nx+3n2－4=0．
因为A，C在椭圆上，所以Δ=－12n2+64>0，解得－433
由四边形ABCD为菱形可知，点(3n4，n4)在直线y=x+1上， 所以n4=3n4+1，解得n=－2．所以直线AC的方程为y=－x－2，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积S=32|AC|2．
由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=－3n2+162，
所以S=34(－3n2+16)(－433
20．解：（Ⅰ）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B的坐标为(1,-1).
设点P的坐标为(x,y),
由题意得y-1x+1•y+1x-1=-13,
化简得x2+3y2=4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1)
（Ⅱ）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)
则12|PA|•|PB|sin∠APB=12|PM|•|PN|sin∠MPN.
因为sin∠APB=sin∠MPN,
所以|PA||PM|=|PN||PB|,
所以|x0+1||3-x0|=|3-x0||x0-1|,
即(3-x0)2=|x20-1|，
解得x0=53.
因为x20+3y20=4，
所以y0=±339．
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，
此时点P的坐标为(53,±339).
（作者：严循跃，江苏省如皋中学)