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方程型综合题，主要以一元二次方程为背景，结合几何、三角或其他代数知识，利用一元二次方程有关理论（如解方程、判别式，根与系数的关系，构造方程等）来解决问题。各地中考常把这类题作为压轴题。这类学科知识渗透题，是近几年中考试卷中涌现出来的又一颗新星，充分体现了数学作为工具学科的本质，现以2009年部分省市中考题为例分类解析点评如下，供复习时参考。
１ 一元二次方程与几何相结合的综合题
例 1：如图1，菱形ABCD的对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，又知菱形ABCD的周长为20，求m的值。（宁波市）
分析：由已知，根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到关于AO、BO和m的两个方程，显然AB=5，在Ｒt△ＡＯＢ中，由勾股定理又可得到一个关于AO、BO方程，联系上述方程即可求出m的值。
解：∵ AO、BO是方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，∴ AO+BO=2m-1，AO·BO=4（m-1），∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD。由于菱形周长为20，且四边长相等，∴ AB=5。
由勾股定理得，AO2+BO2=AB2，即AO2+BO2=25，∴ （AO+BO）2-2AO·BO=25，∴ （2m-1）2-2×4（m-1）=25。m2-3m-4=0，解得m=4或m=-1。当m=-1时，AO·BO=4（m-1）=-8不符合题意，故舍去。∴ 所求m的值为4。
点评：该例中因为已知方程的两根是线段的长，所以不仅要求方程有实数根，即△≥0，而且要求方程有两个正根，即2m-1>0，且4（m-1）>0，此题数形结合，难易适中，解题关键是要注意挖掘和利用这些隐含条件，才能保证结论的正确。
2 一元二次方程与代数函数相结合的综合题
例2：已知点P在一次函数y=2x+1的图象上，点P的横坐标和纵坐标是关于x的一元二次方程x2-（m-3）x+m=0两个根，求m的值。（芜湖市）
分析：设P点的坐标为（a，b），则由一元二次方程根与系数的关系得a+b=m-3ab=m又因为P（a，b），在直线y=2x+1上，所以b=2a+1，由以上三式可求m。
解：设点P的坐标为（a，b），∵ a、b是关于x一元两次方程x2-（m-3）x+m=0的两个根，∴ a+b=m-3ab=m又∵ P（a，b），在直线y=2x+1上，∴ b=2a+1，∴ a+b=m-3ab=mb=2a+1∴a=2b=5m=10或a=-1b=-1m=1∴ m=10或1
点评：这是一道一次函数与一元二次方程根与系数关系相结合的综合题，解本题的关键是直接运用根与系数的关系及点的坐标满足直线方程，得到一个三元二次方程组而求解，由此启发我们，只要我们学会分析抓住突破口，那么解综合题就有了十足的把握。
3 一元二次方程与三角函数相结合的综合题
例3：已知A、B为Ｒt△ＡＢＣ的两锐角，ＳinＡ，ＳinB是方程x2+mx+n=0的两根，且2x+4n+1=0，求出m、n的值（兰州市）
分析：由于Ａ＋Ｂ＝９０°，所以ＳinＢ＝ＣosA，从而结合韦达定理和Ｓin2Ａ+Ｃos2A=1，求出m、n的值。
解：∠Ａ+∠Ｂ＝９０°，∴ SinB=ＣosA，而议程x2+mx+n=0的两根为ＳinＡ，ＣosA，∴ 由根与系数关系，得ＳinＡ+ＣosA=－m ①ＳinＡ·ＣosA=n ②∴①2-②×２得m２－２n=1 ③（这里运用了三角函数公式：Ｓin2Ａ+Ｃos2A=1）又∵ 2m+4n+1=0 ④ ∴ 解③、④得m＝－■，n=－■或m＝－■，n=■ ∴ ＳinＡ>0，ＣosA>0，m<0，n>0，故m＝－■，n=■
点评：本题将一元二次方程与锐角三角函数结合在一起，体现了新课程的理念，淡化了代数与三角学科界限，解题时既应用根与系数关系，又运用了三角函数公式：Ｓin（９０°－Ａ）＝ＣosA及Ｓin2Ａ+Ｃos2A=1，还要考虑m、n的正负，因而是一道开拓学生思维的综合性的好题。
４ 一元二次方程与几何、三角相结合的综合题
例4：已知a、b、c分别是△ＡＢＣ的∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边（a>b），二次函数y=（x-2a）x-2b（x-a）+c2的图象的顶点在x轴上，且ＳinＡ，ＳinB是关于x的方程（m+5）x2-（2m-5）x+m-8=0的两个根。①判断△ＡＢＣ的形状，并说明理由；②求m的值；③若这个三角形外接圆的面积为２５π，求△ＡＢＣ的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长。（成都市）
分析：①由抛物线的顶点在 轴上可得到相应方程的判别式为0，从而求出a、b、c之间的关系，再作判断。②由根与系数的关系和同角三角函数间的关系得到关于m的方程，解之即可。③由圆的面积，m的值和三角函数的定义求出直角三角形的边长，进而分类求出正方形的边长。
解：① △=4（a+b）2-4（2ab+c2）=0得a2+b2=c2，所以△ＡＢＣ为Ｒt△ABC 。②依题意有sinA+sinB=■sinA·sinB=■ 由①得∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，所以sinB＝cosA，利用sin２Ａ＋cos２A＝１，即（sinA＋cosA）２－２sinAcosA＝１，得■2-2·■＝１，解得m１＝２０，m２＝４（舍去），③由πＲ２＝２５π，得Ｒ＝５，所以c=10，当m＝２０时，sinA＝■，sinB＝■，所以a＝c·sinA＝８，b＝c·sinＢ＝６，设正方形边长为x，根据三角形内接正方形不同的位置分类求解。如图2，因为ＤＥ∥ＣＡ，得■＝■，所以x＝■；如图3，作ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ，则ＣＨ＝■。因为△ＣＤＧ∽△ＣＢＡ，所以■=■，则 x=■
点评：本题是一道融代数、几何、三角于一体的综合性试题，解题过程体现了函数与方程、代数与几何、几何与三角、代数与三角等知识间的相互转换，综合应用了数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想。本题设计新颖、思维严谨，能力要求高，具有明显的选拔功能。
综上所述可知：解一元二次方程型综合题，就一元二次方程而言，一般可按如下三个步骤进行：①认真读题、审题、理解题意；②分析探求解题思路；③规范书写解答过程。
另外，就一元二次方程而言，可有如下几个常用考点：①关于方程的有关概念；②一元二次方程的解法；③一元二次方程根的判别式；④一元二次方程根与系数的关系；⑤分式方程的解法。
这些考点是中考试卷中不可缺少的题型内容，这种题型涉及的知识面广、知识跨度大，基本数学方法多，纵横联系较复杂，能力要求高，一般处于中档题或压轴题的位置，不少学生在解答试卷时，往往不敢“接触”综合题，甚至干脆对此不予思考，久而久之，在他们心里产生了综合题是一种高不可攀的、神秘莫测的“问题”了。因此，在平时的教学和复习中，要帮助他们消除心理上的压力，引导他们思考，分析典型的综合题，以培养他们敢于解综合题的良好习性，在解综合题时，除了要求具有扎实的基础知识和熟练掌握基本方法外，还应掌握综合题的解法。
由于一元二次方程型综合题体现了综合性和创新性，随着新课程改革的不断深化，笔者认为：这类综合题将是2011年中考发展的趋势，且试题除学科内部综合外，还可与生物、地理、政治、历史、外语、物理、化学结合，相互渗透，对此，我们应引起高度重视。
１ 一元二次方程与几何相结合的综合题
例 1：如图1，菱形ABCD的对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，又知菱形ABCD的周长为20，求m的值。（宁波市）
分析：由已知，根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到关于AO、BO和m的两个方程，显然AB=5，在Ｒt△ＡＯＢ中，由勾股定理又可得到一个关于AO、BO方程，联系上述方程即可求出m的值。
解：∵ AO、BO是方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，∴ AO+BO=2m-1，AO·BO=4（m-1），∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD。由于菱形周长为20，且四边长相等，∴ AB=5。
由勾股定理得，AO2+BO2=AB2，即AO2+BO2=25，∴ （AO+BO）2-2AO·BO=25，∴ （2m-1）2-2×4（m-1）=25。m2-3m-4=0，解得m=4或m=-1。当m=-1时，AO·BO=4（m-1）=-8不符合题意，故舍去。∴ 所求m的值为4。
点评：该例中因为已知方程的两根是线段的长，所以不仅要求方程有实数根，即△≥0，而且要求方程有两个正根，即2m-1>0，且4（m-1）>0，此题数形结合，难易适中，解题关键是要注意挖掘和利用这些隐含条件，才能保证结论的正确。
2 一元二次方程与代数函数相结合的综合题
例2：已知点P在一次函数y=2x+1的图象上，点P的横坐标和纵坐标是关于x的一元二次方程x2-（m-3）x+m=0两个根，求m的值。（芜湖市）
分析：设P点的坐标为（a，b），则由一元二次方程根与系数的关系得a+b=m-3ab=m又因为P（a，b），在直线y=2x+1上，所以b=2a+1，由以上三式可求m。
解：设点P的坐标为（a，b），∵ a、b是关于x一元两次方程x2-（m-3）x+m=0的两个根，∴ a+b=m-3ab=m又∵ P（a，b），在直线y=2x+1上，∴ b=2a+1，∴ a+b=m-3ab=mb=2a+1∴a=2b=5m=10或a=-1b=-1m=1∴ m=10或1
点评：这是一道一次函数与一元二次方程根与系数关系相结合的综合题，解本题的关键是直接运用根与系数的关系及点的坐标满足直线方程，得到一个三元二次方程组而求解，由此启发我们，只要我们学会分析抓住突破口，那么解综合题就有了十足的把握。
3 一元二次方程与三角函数相结合的综合题
例3：已知A、B为Ｒt△ＡＢＣ的两锐角，ＳinＡ，ＳinB是方程x2+mx+n=0的两根，且2x+4n+1=0，求出m、n的值（兰州市）
分析：由于Ａ＋Ｂ＝９０°，所以ＳinＢ＝ＣosA，从而结合韦达定理和Ｓin2Ａ+Ｃos2A=1，求出m、n的值。
解：∠Ａ+∠Ｂ＝９０°，∴ SinB=ＣosA，而议程x2+mx+n=0的两根为ＳinＡ，ＣosA，∴ 由根与系数关系，得ＳinＡ+ＣosA=－m ①ＳinＡ·ＣosA=n ②∴①2-②×２得m２－２n=1 ③（这里运用了三角函数公式：Ｓin2Ａ+Ｃos2A=1）又∵ 2m+4n+1=0 ④ ∴ 解③、④得m＝－■，n=－■或m＝－■，n=■ ∴ ＳinＡ>0，ＣosA>0，m<0，n>0，故m＝－■，n=■
点评：本题将一元二次方程与锐角三角函数结合在一起，体现了新课程的理念，淡化了代数与三角学科界限，解题时既应用根与系数关系，又运用了三角函数公式：Ｓin（９０°－Ａ）＝ＣosA及Ｓin2Ａ+Ｃos2A=1，还要考虑m、n的正负，因而是一道开拓学生思维的综合性的好题。
４ 一元二次方程与几何、三角相结合的综合题
例4：已知a、b、c分别是△ＡＢＣ的∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边（a>b），二次函数y=（x-2a）x-2b（x-a）+c2的图象的顶点在x轴上，且ＳinＡ，ＳinB是关于x的方程（m+5）x2-（2m-5）x+m-8=0的两个根。①判断△ＡＢＣ的形状，并说明理由；②求m的值；③若这个三角形外接圆的面积为２５π，求△ＡＢＣ的内接正方形（四个顶点都在三角形三边上）的边长。（成都市）
分析：①由抛物线的顶点在 轴上可得到相应方程的判别式为0，从而求出a、b、c之间的关系，再作判断。②由根与系数的关系和同角三角函数间的关系得到关于m的方程，解之即可。③由圆的面积，m的值和三角函数的定义求出直角三角形的边长，进而分类求出正方形的边长。
解：① △=4（a+b）2-4（2ab+c2）=0得a2+b2=c2，所以△ＡＢＣ为Ｒt△ABC 。②依题意有sinA+sinB=■sinA·sinB=■ 由①得∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，所以sinB＝cosA，利用sin２Ａ＋cos２A＝１，即（sinA＋cosA）２－２sinAcosA＝１，得■2-2·■＝１，解得m１＝２０，m２＝４（舍去），③由πＲ２＝２５π，得Ｒ＝５，所以c=10，当m＝２０时，sinA＝■，sinB＝■，所以a＝c·sinA＝８，b＝c·sinＢ＝６，设正方形边长为x，根据三角形内接正方形不同的位置分类求解。如图2，因为ＤＥ∥ＣＡ，得■＝■，所以x＝■；如图3，作ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ，则ＣＨ＝■。因为△ＣＤＧ∽△ＣＢＡ，所以■=■，则 x=■
点评：本题是一道融代数、几何、三角于一体的综合性试题，解题过程体现了函数与方程、代数与几何、几何与三角、代数与三角等知识间的相互转换，综合应用了数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想。本题设计新颖、思维严谨，能力要求高，具有明显的选拔功能。
综上所述可知：解一元二次方程型综合题，就一元二次方程而言，一般可按如下三个步骤进行：①认真读题、审题、理解题意；②分析探求解题思路；③规范书写解答过程。
另外，就一元二次方程而言，可有如下几个常用考点：①关于方程的有关概念；②一元二次方程的解法；③一元二次方程根的判别式；④一元二次方程根与系数的关系；⑤分式方程的解法。
这些考点是中考试卷中不可缺少的题型内容，这种题型涉及的知识面广、知识跨度大，基本数学方法多，纵横联系较复杂，能力要求高，一般处于中档题或压轴题的位置，不少学生在解答试卷时，往往不敢“接触”综合题，甚至干脆对此不予思考，久而久之，在他们心里产生了综合题是一种高不可攀的、神秘莫测的“问题”了。因此，在平时的教学和复习中，要帮助他们消除心理上的压力，引导他们思考，分析典型的综合题，以培养他们敢于解综合题的良好习性，在解综合题时，除了要求具有扎实的基础知识和熟练掌握基本方法外，还应掌握综合题的解法。
由于一元二次方程型综合题体现了综合性和创新性，随着新课程改革的不断深化，笔者认为：这类综合题将是2011年中考发展的趋势，且试题除学科内部综合外，还可与生物、地理、政治、历史、外语、物理、化学结合，相互渗透，对此，我们应引起高度重视。